扩展卡尔曼滤波（EKF）算法详细推导及仿真（Matlab）

姓名：王柯祎

学号：20021110373T

转自 ：https://blog.csdn.net/gangdanerya/article/details/105105611

【嵌牛导读】介绍扩展卡尔曼滤波（EKF）算法的详细推导，局限性和MATLAB仿真。

【嵌牛鼻子】扩展卡尔曼滤波（EKF）

【嵌牛正文】

扩展卡尔曼滤波算法 是解决非线性状态估计问题最为直接的一种处理方法，尽管EKF不是最精确的”最优“滤波器，但在过去的几十年成功地应用到许多非线性系统中。所以在学习非线性滤波问题时应该先从EKF开始。

EKF算法是将非线性函数进行泰勒展开，然后省略高阶项，保留展开项的一阶项，以此来实现非线性函数线性化，最后通过卡尔曼滤波算法近似计算系统的状态估计值和方差估计值。

一、EKF算法详细推导

【注】EKF推导参考的是黄蔚的博士论文“CKF及鲁棒滤波在飞行器姿态估计中的应用研究”，论文中EKF，UKF和CKF等算法讲解的都很详细，值得一看。

我们把KF与EKF算法拿出来对比可以发现：

二、EKF算法局限性：

该算法线性化会引入阶段误差从而导致滤波精度下降，同时当初始状态误差较大或系统模型非线性程度较高时，滤波精度会受到严重影响甚至发散。

需要计算雅克比矩阵，复杂，计算量大，影响系统的实时性，还会导致EKF算法的数值稳定性差。

当系统存在模型失配，量测干扰，量测丢失，量测延迟或状态突变等复杂情况时，EKF算法鲁棒性差。

三、Matlab仿真：

clear allclc  close all

tf = 50 

Q = 10w=sqrt(Q)*randn(1,tf) 

R = 1v=sqrt(R)*randn(1,tf)

P =eye(1)

x=zeros(1,tf)

Xnew=zeros(1,tf)

x(1,1)=0.1 

Xnew(1,1)=x(1,1)

z=zeros(1,tf)

z(1)=x(1,1)^2/20+v(1)

zjian=zeros(1,tf)

zjian(1,1)=z(1)

for k = 2 : tf

%%%%%%%%%%%%%%%模拟系统%%%%%%%%%%%%%%%

    x(:,k) = 0.5 * x(:,k-1) + (2.5 * x(:,k-1) / (1 + x(:,k-1).^2)) + 8 * cos(1.2*(k-1)) + w(k-1) 

    z(k) = x(:,k).^2 / 20 + v(k)

%%%%%%%%%%%%%%%EKF开始%%%%%%%%%%%%%%%

    Xpre = 0.5*Xnew(:,k-1)+ 2.5*Xnew(:,k-1)/(1+Xnew(:,k-1).^2) + 8 * cos(1.2*(k-1))  

    zjian =Xpre.^2/20

    F = 0.5 + 2.5 * (1-Xnew.^2)/((1+Xnew.^2).^2)

    H = Xpre/10    

    PP=F*P*F'+Q 

    Kk=PP*H'*inv(H*PP*H'+R)

    Xnew(k)=Xpre+Kk*(z(k)-zjian)

    P=PP-Kk*H*PP

end

  t = 2 : tf  

 figure   plot(t,x(1,t),'b',t,Xnew(1,t),'r*')  legend('真实值','EKF估计值')

仿真结果：

1、概述

  如果进行电池SOC的建模，常常会用到Simulink中的Battery模块，本期基于Matlab中的help文件，会大家概述Battery模块的用法。Simulink中的Battery模块如下图所示：

在这里插入图片描述

  双击Battery模块会出现参数设置的界面：

在这里插入图片描述

  如果为Battery charge capacity参数选择Infinite，则模块将电池建模为串联电阻器和恒压源。如果您为Battery charge capacity参数选择Finite，则模块将电池建模为串联电阻器和与充电相关的电压源。在有限情况下，电压是电荷的函数，具有以下关系：

在这里插入图片描述

  式中，SOC（荷电状态）是当前充电与额定电池容量的比率。V0是电池在空载时充满电时的电压，由额定电压Vnom参数定义。β是一个常数。

2、电池衰退模型

  对于具有有限电池充电容量的电池型号，可以根据放电循环的次数对电池性能退化进行建模。这种劣化称为电池衰退。

在这里插入图片描述

  式中，λAH是电池标称容量的乘数。λR0是电池串联电阻的乘数。λV1是电压V1的乘数。N是完成的放电循环次数。N0是模拟开始前完成的完整放电循环次数。AH是以安培小时为单位的额定电池容量。i(t)是瞬时电池输出电流。H(i(t))是瞬时电池输出电流的Heaviside函数。 如果参数为负，则此函数返回0，如果参数为正，则返回1。

3、热效应建模

在这里插入图片描述

  式中，T是电池温度。T1是标称测量温度。λV是V0的参数温度相关系数。β的计算方法与 Battery Model 相同，

  内部串联电阻、自放电电阻和任何电荷动态电阻也是温度的函数：

在这里插入图片描述

  式中，λR是参数温度相关系数。

4、电池动力学模型

  可以使用Charge dynamics参数对电池充电动态进行建模：

在这里插入图片描述

  No dynamics——等效电路不包含并联RC部分。电池的端电压和内部充电电压之间没有延迟。

  One time-constant dynamics——等效电路包含一个并联RC部分。使用第一个时间常数参数指定时间常数。

  Two time-constant dynamics——等效电路包含两个并联的RC部分。使用第一个时间常数和第二个时间常数参数指定时间常数。

  Three time-constant dynamics——等效电路包含三个并联的RC部分。使用第一个时间常数、第二个时间常数和第三个时间常数参数指定时间常数。

  Four time-constant dynamics——等效电路包含四个并联的RC部分。使用第一个时间常数、第二个时间常数、第三个时间常数和第四个时间常数参数指定时间常数。

  Five time-constant dynamics——等效电路包含五个并联的RC部分。使用第一个时间常数、第二个时间常数、第三个时间常数、第四个时间常数和第五个时间常数参数指定时间常数。

  下图为Two time-constant dynamics模型图：

在这里插入图片描述

  RRC1和RRC2是并联的RC电阻。分别使用第一极化电阻（First polarization resistance）和第二极化电阻（Second polarization resistance）参数指定这些值。

  CRC1和CRC2是并联的RC电容。时间常数τ使用关系式C=τ/R将R和C值关联起来。分别使用第一个时间常数（First time constant）和第二个时间常数（Second time constant）参数为每个部分指定τ。

  R0是串联电阻。使用内阻（Internal resistance）参数指定该值。

5、绘制电压-电荷特性

  快速绘图功能可让您可视化电池模型参数值的电压-充电特性。要绘制特性图，请右键单击模型中的Battery模块，然后从上下文菜单中选择Electrical >Basic 特性。软件根据模块参数值自动计算一组偏置条件，并打开一个图形窗口，其中包含模块的空载电压与荷电状态（SOC）的关系图。

在这里插入图片描述

6、参数设置

  Nominal voltage, Vnom

  电池充满电时的空载电压。

  Internal resistance

  电池内阻

  Battery charge capacity

  选择用于建模电池充电容量的选项之一：

  Infinite——电池电压与从电池汲取的电量无关。

  Finite——电池电压随着电量的减少而降低。

  Ampere-hour rating

  以安培小时为单位的最大（标称）电池电量。

  Voltage V1 when charge is AH1

  充电电平为AH1时的电池基波输出电压，由Charge AH1 when empty电压为V1参数指定。

  该参数必须小于标称电压Vnom。

  Charge AH1 when no-load voltage is V1

  充电为AH1参数时Voltage V1指定的空载输出电压对应的电池充电电平。

7、仿真

  以12V的铅酸电池模型为例，搭建的电池充放电模型如下图所示：

在这里插入图片描述

  其中，SOC Calculation表示安时积分法。仿真结果如下图所示：

在这里插入图片描述

  由此可知，Battery模型能很好的反应SOC的变化关系。

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无人机搞飞控的一般主要有四个工种：硬件开发工程师（画板子的）、嵌入式开发工程师（搞架构的）、算法工程师（搞算法的）、软件工程师（填血肉敲代码的）。

我们来看看这四个工种要会啥，你就知道你要学啥了。

硬件开发工程师（工资1-4万）

1、熟悉PCB设计流程和规范，熟悉Altium Designer、Cadence Allegro等工具软件；

2、有扎实的数字、模拟电路基础，熟悉高速数字电路板设计；

3、熟悉ARM，DSP等嵌入式处理器，及其外围接口电路和驱动；熟悉底层PCI、USB、IIC、SPI等接口协议；熟练运用仿真工具、示波器等调测硬件；具有独立完成复杂电路设计和调试能力；

嵌入式开发工程师（工资1-4万）

1、本科及以上学历，通信、计算机、自动化、电子等相关专业；

2、熟悉uCOSII/III、FreeRTOS、Linux等至少一种嵌入式 *** 作系统下的软件开发；

3、熟悉ARM体系结构及其常用调试方法，有STM32/GD32系列开发经验；

4、精通C编程，熟悉通信协议及其代码实现，能够实现接口的驱动,如UART.I2C.SPI等；

算法工程师（工资1-4万）

1、硕士及以上学历，控制理论与控制工程专业，对飞行器、控制理论和算法有深刻理解和应用；

2、具备C或C++、Python等编程能力，能熟练使用Matlab控制工具包及Simulink等控制系统设计与仿真工具软件；

3、至少熟悉姿态融合、控制算法和导航算法中的一种；熟悉四元数,EKF,DCM等姿态算法，熟悉控制理论，有PID控制经验；

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