时间域上的快速数字滤波方法———递归滤波

前面介绍的是频率域滤波，即首先将信号通过FFT转换到频率域，频率滤波后再进行反傅立叶变换得到滤波后的时间序列。能否直接在时间域进行滤波处理呢?这就是时间域滤波问题。时间域常用的是递归滤波和褶积滤波。我们主要介绍递归滤波的原理和设计。

1.递归滤波器的原理及特点

在时间域上进行数字滤波时，是在时间域上将输入地震记录与滤波因子作褶积，

由上式可见，如果h(n)的离散数目为N，则每计算一个点的 值，就要进行N次乘法和N-1次加法若 有M个点，则总计要进行M×N次乘法和M(N-1)次加法。当M的值很大且是多道运算时，其运算工作量是相当大的。如果能在计算 时，充分利用以前计算出的结果 ，使计算工作量减少，就显得很有价值。这种设想在数学上是可行的，即要建立一个递推公式来取代上面的褶积计算。从物理概念上讲，相当于设计一个反馈滤波器，图9-3-1给出了这种滤波器的原理图。图中x(t)经滤波器Ⅰ后得到输出 ，再将 一部分经滤波器Ⅱ后反馈到 上得到输出 。因此递归滤波在数学上可写出一般递推公式

图9-3-1 递归滤波器原理图

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式中a0，a1，…，an和b1，b2，…，bm为递推滤波系数，一般n+m+1<K(k为滤波因子的点数)。从(9-3-1)式可以看到，每计算一个 值，都要用到以前计算的结果，其运算是一种递推的关系，因此可以节省许多工作量。对(9-3-1)式进行Z变换，可以很容易得到递归滤波器的Z变换形式

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式中Z=e-iω。从以上讨论可以看到，递归滤波实际上是一种数学运算上的变化。这种变化的可能性就是(9-3-1)所表示的滤波函数是否存在的问题，即是否物理可实现的问题。(9-3-2)式表示了递归滤波器的频率特性，由傅立叶变换及其性质，容易得到图9-16中滤波器I和滤波器II的频谱H1(ω)和H2(ω)，它们分别为

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由图中的反馈结构还可以得到

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整理可得递归滤波器的系统函数的频率响应:

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由式(9-3-5)可知，递归滤波器的频率响应H(ω)的系数仍然是未知的，那么如何得到这些系数呢?这就涉及到递归滤波器的设计问题。

2.递归滤波器的设计

设计递归滤波器实际上就是根据已给出的滤波器的频率特性，确定出递归滤波的参数，a0，a1…，an和b1，b2，…，bm的问题。目前具体的递归滤波器的设计方法有最小平方法，即利用最小二乘原理求出参数Z平面法，适用于一些简单滤波器的设计借用法，即利用现有的电滤波器的传输函数作一变换，转换成递归滤波器，利用电滤波器的传输函数中的参数确定递归滤波参数，即可进行递归滤波。本书主要讲Z变换法，以掌握不同滤波器的特性参数和功能。

(1)用Z平面法设计递归滤波器

设计简单滤波器可用Z平面法。在图9-3-2所示的Z平面中，Z=eiΩ表示一个点，这个点表示的复数的模值为1，位相为Ω。当Ω由0→2π变化时，就画出一个圆，称为单位圆。

现在假定有一个复数，

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因为1可以看成是单位圆上Ω=0的一个点，即图9-3-2中的R点，此处R=1，另外由于Z=OP，则

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又因为

Δt为时间域采样间隔，因此PR随频率f而变。如果把F(Z)看成一个滤波器，则这个滤波器的振幅特性为

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当Ω由0→π时，即f由0变化到 变化，则PR由0变到2。FN称为折叠频率，即在此频率以上当Ω再增加时，PR又重复按周期性变化。

显然这个滤波器对不同频率的信号有相对压制作用，这正是频率滤波器的特点。但这个滤波器并不适用，因为设计滤波器时总是希望通频带越平坦、边界越陡越好。上述的滤波器可以认为是压制零频率分量的滤波器，但它对零频率附近的频率分量也给予了不同程度的压制。为了改进这种滤波器的特性，可在实轴上靠近R点附近再选一个s点。假定坐标为1.01，现在以PR和PS之比 作为滤波器的频率特性，因为ps=os-op=1.01-Z，即

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显然从式(9-3-7)可见，当f=0时，Z=1，H(Z)=0随着f增大，H(Z)值很快增大而接近于1，即边界特性很陡，且通频带比较平滑，这可以认为是消除零频率分量成分较好的滤波器，见图9-3-3。

图9-3-2 设计递归滤波器的Z平面

图9-3-3 压制零频率分量的滤波器

根据递归滤波器的关系式，上述滤波器的递归公式为

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从该式可以看出，每计算一个输出，只要求两次加减法和一次乘法即可。

1)高通滤波器的设计

上例中是一个压制零频率的滤波器，可以看成是一个高通滤波器，而且S点位置的选择，决定了滤波特性曲线的陡度。把(9-3-7)中的系数0.9901改为系数q，并省去全式的常数因子，得出

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上式即高通滤波器的一般表示式，其功率谱可以表示为

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当Ω=±π时，功率谱曲线具有极大值

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分析(9-3-8)式，q决定特性曲线的陡度，若规定极大值的一半处的横坐标为频带的下边界点，用f边表示边界频率，则

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所以

2)低通滤波器

如图(9-3-4)所示，我们把S点选在高频一侧，即在-1点以外时，则可以得到一个低通滤波器，此时滤波器的特性关系式为

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其功率谱特性如图9-3-5所示

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根据滤波特性的关系式，q必须小于1。

`3)带通滤波器

将低通和高通滤波器相乘，即可得到一带通滤波器，其关系式为

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其中q1和q2分别是低通和高通滤波器的系数。

4)带阻滤波器

根据上面的讨论，若要压制某一频率的信息，只要将图9-3-4中的R点选在该频率点处。例如将R点选在f=50Hz的位置上，就得到压制50Hz的点阻滤波器，这样，只要把50Hz在Z平面上的位置求出来就可以了。

设Δt=1ms，f=50Hz，则

图9-3-4 设计低通滤波器的Z平面

图9-3-5 低通滤波器的振幅特性

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因此

故R点的位置为R=e+i18°，如图9-3-6所示。

另外为了实现零相移滤波，还需要选一个与R点对称的共轭点,

或表示为

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再在R点附近选择一个极点，因为极点必须在单位圆外，故可选择

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利用零点和极点组成的滤波器为

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特性曲线见图9-3-7。以上讨论证实了R点的位置决定了频率的压制点，从数学关系上讲，对滤波关系式选择不同的零点和极点，就可以对相应不同频率的信息起到压制作用。因此，可以把点阻滤波器推广为带阻滤波器。这时，对于零点和极点不应选一个，而应根据滤波特性设计的要求选择多个，其一般表达式为

图9-3-6 陷波滤波器的Z平面

图9-3-7 陷波滤波器的振幅特性

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如图9-3-8所示。而总的特性是各个点阻滤波器的合成，如图9-3-9所示。

图9-3-8 点阻滤波器的频率特性

图9-3-9 带阻滤波器的频率特性

(2)反向递归滤波器及零相移滤波器

1)反向递归滤波器

进行递归滤波器设计时，Z平面上的点都是共轭选择的。对共轭点而言，其滤波关系式为

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设X(Z)和Y(Z)分别为输入和输出信号的谱函数，则滤波关系式为

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上式移项整理后得

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将Y(Z)、X(Z)分别表示为时间域函数，应用频谱分析的延时定理，(9-3-19)的一般表达式为:

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式中t=T，T-1，T-2，…0T为要处理记录xi的最后一个时刻。具体计算时，设t>T，xt=0，yt=0。

从(9-3-20)可以看出，当计算yt时，必须先计算出大于t时刻的值，也就是说，要先从大的时间算起，再往小时间方向递推，相当于把信号掉过头来往滤波器内送，因此称为反向递归滤波。

2)零相移递归滤波器

通过前面学习知道，在地震资料数字滤波中，经常用的是理想滤波器，即零相位滤波器。现在在已经设计出物理可实现递归滤波器H(Z)的条件下，如何来设计零相位滤波器呢?先来看下式

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转换到频率域，有

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显然滤波器G(Z)是零相位的，且可通过H(Z)和 得到，这就是设计零相位滤波器的思路。我们把前者称为正向递归滤波，后者称为反向递归滤波。即只要把原来设计的滤波器乘上一个共轭复数就能实现。

例如设计滤波器为H1(Z)，其共轭复数为 ，零相移滤波器为

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对递归滤波器来说，

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式(9-3-24)即为一个反向滤波器。就是说，零相移滤波相当于H1(Z)和 两个滤波器的串联，如图9-3-10。

由图9-3-10可见，信号xt是先经过H1(Z)滤波得到ut，再经过 反向滤波，最后得到yt。

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式(9-3-23)是正向递归滤波器公式，它从地震记录的头部开始对整张记录递推计算式(9-3-24)是反向递归滤波器公式，它从地震记录的尾部开始对整张记录递推计算。两次递推滤波后，得到零相位滤波结果。

图9-3-10 零相移滤波器

3.设计递归滤波器应注意的问题

(1)递归滤波器的阶数

阶数越大，计算结果越精确，但是计算量增大。因此，实际处理时常选n=m=4。

(2)滤波器的稳定性

递归算法中如果滤波器不稳定，递归过程就可能因不收敛而得不到正确的结果。因此在设计滤波器时，要考虑稳定性问题。滤波器稳定的条件:

若B(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m的收敛域是包含单位圆的圆外域，则滤波器是稳定的。

(3)时变滤波

需要说明的是，由于地层的大地滤波作用，使得来自浅、中、深层的频谱成分差异很大。有些地区，浅层可达到70～80Hz，深层只有10～30Hz，这使得如果做带通滤波，就不能从浅层到深层用一个滤波门，而应根据不同的时间设置变化的滤波门进行时变滤波。实际处理时，尽量使带通区域能平滑过渡，滤波要混有相邻时间窗口的数据。

对于一般情况，是根据不同的时窗提取不同的滤波因子，然后进行分段时变滤波。相邻段之间可以采用线性加权插值，如图9-3-11，t1-t'1用h(1)t滤波因子滤波，t'2-t3用h(2)t滤波因子滤波，t'1-t'2h(12)t滤波因子滤波。

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图9-3-11 时变线性加权

递归滤波技术又称迭代滤波技术，由美国哥伦比亚广播公司实验室提出的，利用递归思想实现滤波的方法。递归滤波技术有许多种，其中递归中值滤波和卡尔曼滤波较常用，下面做详细介绍。

中值滤波：

基本原理：把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值来代替。例如对于一个(2k+1)*(2k+1)窗口，它中央的象素为x(i,j)，经过中滤波后其值为：

窗口的形状可以是方形的，近似圆形或者十字形的。

递归中值滤波：

将前几步求得的中值反馈到当前的中值计算中，称为递归中值滤波。例如，在每一次滤波中，将窗口正中前p点的象素值换成在前面p次中值运算中得到的中值，进行排序取其中值，这种滤波器称为递归p中值滤波器。

假设在(2k+1)*(2k+1)的窗口中，处于中间的象素用l进行标记，这里，则递归中值滤波器的输出为

其中是在窗口中心位于第r点时的中值，。可以改变p值来得到不同形式的滤波器。

标准的中值滤波和递归中值滤波均有较好的滤除噪声的特性，但同时也会对图像造成不同程度的模糊。在递归中值滤波中，当时，递归中值滤波退化成标准的中值滤波。当时，在窗口中只利用一个反馈值，对一些噪声滤除效果较好，同时产生的模糊度比标准中值滤波小。当，此时递归中值滤波器最大限度的利用窗口中的反馈值，滤除噪声的性能比的情况由较明显提高，但是经常以不实用的低通滤波器告终。在应用中可以根据实际要求选择一些中间值，在除噪性能和图像细节之间作出适当的折中。

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