施密特正交化步骤 详细

1、我们先假设3个需要规范化的向量，用下拆冲面的例子来进行讲解一下，这样可以理解的更加清楚。

2、我们已经选取好需要进行正交化的向量了，第一步，我们要先进行正交化。

3、对上面已经做完正交化喊首之后的向量进旅渗歼行单位化，然后我们在对向量单位化。

4、最后就是我们得出的结果了。

施密特正交化详细计算过程是[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。

由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出旦迅一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。

正交：

在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与纤尺β正交，则记为α⊥β。

对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。

和正交有关的数学概念非常多，比如正交矩阵，正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。另外在此补充模竖此正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

用数学归纳法可以证明：

设  是  中的一个线性无关向量组，若令

则 就是一个 正交向量组，若再令

就得到一个标准正交向量组 ，且该向量组与  等价。

上述所说明的利用线性无关向量组，构造出一个标准正交向量组的方法，就是施密特正交化方法。

扩展资料

正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

参考资料：百度百科-施密特正交化  百度百科-正交向量组

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