滤波反投影法与迭代重建算法的优缺点比较

滤波反投影法与迭代重建算隐液法的优缺点比较：

确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接拆此或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

过程控制

在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数旅携迅无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

递归滤波技术又称橘饥迭代滤波技术，由美国哥伦比亚广播公司实验室提出的，利用递归思想实现滤波的方法。递归滤波技术有许多种，其中递归中值滤波和卡尔曼滤波较常用，下面做详细介绍。

中值滤波：

基本原理：把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值来代替。例如对于一个(2k+1)*(2k+1)窗口，它中央的象素为x(i,j)，经过中滤波后其值为：

窗口的形状可以是方形的，近似圆形或者十字形的。

递归中值滤波：

将前几步求得的中值反馈到当前的中值计算中，称为递归中值滤波。例如，在每一次滤波中，将窗口正中前p点的象素值换成在前面p次中值运算中得到的中值，进行排序取其中值，这种滤波器称为递归p中值滤波器。

假设在(2k+1)*(2k+1)的窗口中，处于中间的象素用l进行标记，这里，则递归中值滤波器的输出为

其中是在窗口中心位于第r点时的中值，。可以改变p值来得到不同形式的滤波器。

标准的中值滤波和递归中值滤波均有较好圆袜返的滤除噪声的特性，但同时也会对图像造成不同程度的模糊。在递归中值滤波中，当时，递归中值滤波退化成标准的中值滤波。当时，在窗口中只利用一个反馈值，对一些噪声滤除效果较好，同时产生的模糊度比标准中值滤波小。当，此时递归中值滤波器最大限度的利用窗口中的反馈值，滤除噪声的性能比的情况由较明显提高，但是经常以不实用的低通滤波器好汪告终。在应用中可以根据实际要求选择一些中间值，在除噪性能和图像细节之间作出适当的折中。

4.2.2.1 传统匹配滤波算法存在的问题及原因分析

下面进行一组数值实验，目的是分析上述方法难以解决的问题。为了方向性更强，只合成存在时间 差的数据，图4.16，图4.17是时间2地震记录相对于时间1地震记录存在负延迟和正延迟的两组数据，以时间1为参考，分别用上面推导出的匹配滤波方法处理，对应结果为图4.18，图4.19。处理结果表明 负延迟的匹配结果好于正延迟的匹配结果，正延迟的匹配结果误差过大。

图4.16 负延迟数据匹配前数据

图4.17 正延迟数据匹配前数据

图4.18 负延迟数据直接匹配结果

图4.19 正延迟数据直接匹配结果

上面的模拟数据存在同一因素（1－时间）差异，只有初始时间延迟方向不同，匹配结果截然不同，有效的匹配算法应将这两组数据校正到相同结果。

上面试算结果不一致，因此，必须重新分析公式（4.7）～（4.12）的适用范围。首先分析公式（4.11），方程组左边是由时期Y2地震记录在设计窗口中的自相关序列RY2Y2（m－n）组成的矩阵，自相关序列具 有对称性：

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因此构成Toeplitz矩阵。矩阵中包含了算子设计窗口内所有的自相关信息。方程组右边则只有时期Y1地 震记录和时期Y2地震记录在算子设计窗口中的互相关序列的正半边RY1Y2（n），n ＝ 1，2，…L组成。

对于上面的数值试验，方程组左边相同，但右边互相关序列不同，对于图4.16所示的负向延迟数据，互相关序列的正半边在计算过程中包含了延迟信息。而对于图4.17所示的正向延迟数据，互相关正半边 序列的计算过程中不包含延迟信息。所以二者通过相关信息计算的滤波算子不同。这是直接从公式（4.11）分析两组数据的差异。图4.17所示的正向延迟数据的正向互相关序列中不包含延迟信息，而其负向互相 关序列中恰包含延迟信息，已有的匹配滤波算法只能接收正向互相关序列信息，忽略负向互相关序列，所以在这种情况下设计出的滤波因子匹配效果不好。匹配滤波中算子设计过程中只有包含互相知让棚关序列中 与校正量相关的信息，才能达到好的效果。下面根据以上的分析推导适用性更广的匹配滤波算法。

4.2.2.2 推广的匹配滤波算法

同样设同一地区不同时期Y1，Y2得到的地震数据分别为GY1（t），GY2（t），取Y1年份的地震滑乱记录 为参考地震道，使Y2年份相应的地震记录与之匹配。选取归一化算子P使得目标泛函：

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极小。考虑离散处理方法，求匹配滤波器｛P（m），m＝－m0，－m0＋1，…，－m0＋L－1｝使

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计算泛函E关于P（n）的Frechet导数 ，令 则得到

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简化成

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因此得到关于求解匹配滤波器｛P（m）｝的L个方程的方程组：

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对上面的公式进一步简化，令

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上两式中：RY2Y2（m－n）为时间延迟为m－n时期Y2地震记录在设计窗口中的自相关函数，RY1Y2（n）为时间延迟为n的时期Y1与时期Y2地震记录在设计窗口中的互相关函数，于是方程（4.29）可以进一步 写成

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求解方程组（4.32）得到匹配滤波器算子｛P（m），m＝－m0，－m0＋1，…，－m0＋L－1｝。

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用公式（4.33）校正相应的地震剖面。

新给出的匹配滤波算法与传统匹配滤波算法不同之处在于滤波算子序列的起始时间不同，这样应用 互相关序列信息不同。m0取不同值，应用的信息不同，L始终取正整数。当搭则m0＝－1时，公式（4.32）退化为公式（4.11），式（4.11）是式（4.32）的特例。下面讨论m0取不同值时与滤波算子性质的对应关系。

设存在P－且满足

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式中：GY1和GY2分别为Y1与Y2两次不同时期的地震记录，P－与P为能量有限信号；P为要设计的滤波 算子；P－与P互为反滤波运算。公式（4.34）是应用匹配滤波进行不同时期地震资料互均衡的假设条件。公式（4.35）为滤波器的设计准则。P－与P满足下式：

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下面针对P－的不同情况进行讨论。

（1）P－为最小相位

此时严格的反滤波因子P只有正半边的值，即P（n）＝0，n≤0，P为物理可实现信号。它的能量 主要集中在［1，L］之间，作为近似的反滤波因子，希望它能反映真正的反滤波因子的主要部分，因此取 m0＝－1。这正是公式（4.11）对应的情况。因此应用公式（4.11）应该在当P－最小相位的情况下才能取 得好的效果，反之违背了这条假设，难以得到好的处理效果。

（2）P－为混合相位

此时反滤波因子P正负半边都有值，一般取m0>0，－m0＋L－1>0同时包含正负相关序列。

（3）P－为最大相位

这种情况下，反滤波因子P只有负半边，通常取m0＝L，此时滤波因子为｛P（m），m＝－L，－L ＋1，…，－1｝。设计滤波因子只用到了互相关序列的负半边。

实际中最常遇到的是P－为最小相位和混合相位两种情况，P－为最小相位直接采用公式（4.11）即 可。P－为混合相位时，虽然采用（4.32）式，令m0>0，－m0 ＋L－1>0，理论上能解决问题，但 如何有效地确定m0却又是一个问题。另外，滤波因子P为要求取的对象，P求出之前无法判断P－的特征。能否解决上面两个问题决定着改进算法的适用性。

4.2.2.3 基于误差准则和循环迭代的求解方法

直接判断P－的特点有困难，即使可以通过间接的方法得到P－的信息，如果P－是混合相位还要确定 m0的值，实际地震处理中涉及的数据量非常大，而且是P－为混合相位、最小相位、最大相位的混合情况，如果分步处理，先确定P－再确定m0，一方面准确确定这些参数有困难，另一方面分步处理或人工干预 也影响处理效率。为此提出了基于误差准则和循环迭代的求解方法，即达到处理效果，又减少人工干预。

匹配滤波最终的目的是得到合适的滤波算子，衡量滤波算子的标准可采用匹配后结果的均方根能量 的大小，称为误差准则。因为P－的特点受待匹配地震记录位置、波形的制约，改变地震记录的位置、波 形便能改变P－的相位特点，因此可以通过调整地震记录的位置和波形，把P－从混合相位调整到最小相位，从而无需确定m0直接应用公式（4.11）和（4.12）求解。不断调整地震记录的位置、波形，比较误差能量，只要调整的范围足够大，总能找到最优的滤波算子，满足误差能量最小。这是解决问题的总体思路。

地震记录的波形可以通过相位调整，位置可以通过延迟时间调整，可以同时调整延迟时间和相位。另外时间和相位又是相耦合的，也可以单独调整时间延迟。当两信号位置相差太大，搜索时间加大，可 以借助互相关方法将两信号校正到大体相同的位置，然后以此位置为中心，先在小范围内调整时间延迟，记录最小误差和滤波因子，不满足期望误差时再加大调整范围，最终选择误差能量最小的滤波算子。

4.2.2.4 理论模型数据验证

首先给出两个理想化模型对应于时间1与时间2，两次时间模型上部阻抗不变，下部阻抗有变化。通 过同一子波与两模型的反射系数褶积得到期望合成地震记录，改变子波参数，与时间2模型反射系数褶积，得到同时存在时间、振幅、相位、频率的差异的时间2地震记录，如图4.20，图4.21所示。以前60采样 点为滤波算子设计窗口（波阻抗不变部分），分别采用直接匹配、时间校正＋直接匹配、循环迭代匹配 进行校正。

图4.22，图4.23为直接匹配后的结果，误差较大。图4.24，图4.25为先采用互相关进行时延校正，再进行匹配滤波后的结果，匹配效果得到改善。图4.26，图4.27为采用基于误差准则和循环迭代方法的 校正结果，表明一方面在设计窗口处理后的地震记录与参考地震记录达到一致，另一方面在油藏区（60 采样点之后）处理后结果与期望结果一致，达到了去除不一致恢复期望差异的目的。在所用的几种方法 中基于误差准则和循环迭代方法精度最高。

4.2.2.5 实际资料处理验证

图4.20 匹配滤波前波形

图4.21 匹配滤波振幅差异

图4.22 直接匹配后波形

图4.23 直接匹配振幅差异

图4.24 延校正＋直接匹配后波形

图4.25 时间校正＋直接匹配后振幅差异

图4.26 循环迭代匹配后波形

图4.27 循环迭代匹配后差异

4.2.2.5 实际资料处理验证

选择同一地区两次不同时间测得的两条二维测线，选取油藏上方长度为300ms的窗口作为滤波算子 设计窗口，取其中139道构成验证互均衡算法的数据体（图4.28，图4.29），分别采用直接匹配滤波、时延校正＋匹配滤波、基于误差准则和循环迭代匹配三种方法进行校正。比较差异剖面的平均能量，结 果见图4.30。从图中可知基于误差准则和循环迭代匹配方法误差最小，效果最好。

图4.28 某地区时间1地震记录

图4.29 某地区时间2地震记录

图4.30 处理结果对比图

本节在分析传统匹配滤波算法不足的基础上，推导出通用公式，分析了公式的参数选取条件。提出 适用实际资料处理的基于误差准则和循环迭代的求解方法。理论和实际数据都验证了该方法的有效性。

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