该问题的关键是求题中两个随机变量的“联合分布函数”。请教如何求？要详细过程

设（X,Y）是二维随机变量，x,y使任意实数，称二元函数 F（x,y）=P（X<=x，Y<=y)为（X,Y）的分布函数，或称为X与Y的联合分布函数。完了，概率论与数理统计内容

由P(X=1,Y=1)=P(XY=1)=1/3=P(X=1)=P(Y=1)可知，
P(X=1,Y=0)=P(X=1,Y=2)=P(Y=1,X=0)=P(Y=1,X=2)=0
(注意P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2), 其他类似 )
P(X=2,Y=2)=P(XY=4)=1/12,
P(X=2,Y=0)=P(X=2)-P(X=2,Y=1)-P(X=2,Y=2)=1/6-1/12=1/12
类似有P(X=0,Y=2)=P(Y=2)-P(X=1,Y=2)-P(X=2,Y=2)=1/3-1/12=1/4
然后，P(X=0,Y=0)=P(X=0)-P(X=0,Y=1)-P(X=0,Y=2)=1/2-1/4=1/4

给定至少两个随机变量X,Y,…, 它们的联合概率分布(Joint probability distribution)指的是每一个随机变量的值落入特定范围或者离散点集合内的概率 对于只有两个随机变量的情况, 称为二元分布(bivariate distribution)
联合概率分布可以使用联合累计分布函数(joint cumulative distribution function), 连续随机变量的联合概率密度函数(joint probability density function)或者离散变量的联合概率质量函数(joint probability mass function)来描述 由此又衍生出两个概念: 边缘分布(marginal distribution)和条件概率分布(conditional probability distribution)
二 离散变量的联合概率质量函数公式
公式:
是给定X=x的Y=y的条件概率
而且有:
如果X和Y相互独立:
如果X和Y条件不独立(conditionally dependent):
P(X=x and Y=y)=P(X=x)·P(Y=y|X=x)
也可以使用联合累计分布函数的差分来计算:
联合累计分布函数定义是:

所以F(x,y)的导数(差分)就是P(X=x and Y=y)
三 使用Matlab计算离散2D联合分布
参考: Calculating a 2D joint probability distribution
离散2D联合分布可用于计算两张的互信息MI
0 定义两个离散的随机变量
有N个点分布在边长为1的正方形区域内 把正方形分为K1K2的小矩形 统计每个小矩形内的点的个数
% Data
N = 1e5; % number of points
xy = rand(N, 2); % coordinates of points
xy(randi(2N, 100, 1)) = 0; % add some points on one side
xy(randi(2N, 100, 1)) = 1; % add some points on the other side
xy(randi(N, 100, 1), :) = 0; % add some points on one corner
xy(randi(N, 100, 1), :) = 1; % add some points on one corner
inds= unique(randi(N, 100, 1));
xy(inds, :) = repmat([0 1], numel(inds), 1); % add some points on one corner
inds= unique(randi(N, 100, 1));
xy(inds, :) = repmat([1 0], numel(inds), 1); % add some points on one corner
% Intervals for rectangles
K1 = ceil(sqrt(N/5)); % number of intervals along x
K2 = K1; % number of intervals along y
int_x = [0:(1 / K1):1]; % intervals along x
int_y = [0:(1 / K2):1]; % intervals along y
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1 从定义出发, 使用for循环:
tic
count_cells = zeros(K1, K2);
for k1 = 1:K1
inds1 = (xy(:, 1) >= int_x(k1)) & (xy(:, 1) < int_x(k1 + 1));
for k2 = 1:K2
inds2 = (xy(:, 2) >= int_y(k2)) & (xy(:, 2) < int_y(k2 + 1));
count_cells(k1, k2) = sum(inds1 inds2);% 布尔相乘得到交集点的个数
end
end
toc
% Elapsed time is 39357691 seconds
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因为U=XY，V=X/Y，（U,V）的联合分布可以由（X,Y）联合分布导出
由Pij可知Y=±1
因此，只有U=V时概率才不为0
P_UV(1,1)=P(1,1)+P(-1,-1)=1/3
P_UV(0,0)=P(0,1)+P(0,-1)=1/2
P_UV(-1,-1)=P(-1,1)+P(1,-1)=1/6

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