设随机变量X的概率密度为 f(x)=e^-x,x>0 求Y=2X,Y=e^-2x的数学期望 写出详细过程，谢谢！

解题过程如下：

F(y)=P(Y<y)=P(x^2<y)=P(-y^05<x<y^05)=Fx(y^05)-Fx(-y^05)，其中Fx(x)=1-e^-x带入即可

微分得到f(y)=(05y^-05)(e^(y^05)+e^(-y^05))。

x=(+or-y^05)，|Jacobian|=|dx/dy|=1/2y^-05

f(y)=(05y^-05) (fx(y^05)+fx(-y^05))= (05y^-05)(e^(y^05)+e^(-y^05))

其实任意的随机变量x，y=x^2的分布都是(05y^-05)(fx(y^05)+fx(-y^05))下次直接套这个公式就好，上面的证明对于一切随机变量x都适用。

性质：

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

显然由公式可以知道
EX
=∫[-∞,+∞] x f(x)dx
=∫[-∞,+∞] x/2 e^(-|x|) dx
显然x/2 e^(-|x|)是一个奇函数，
那么积分之后得到的就是一个偶函数，
代入对称的上下限+∞和-∞，当然得到的E(X)就是0
不会的话我给你做一下吧，
EX
=∫[-∞,+∞] x/2 e^(-|x|) dx
=∫[-∞,0] x/2 e^x dx + ∫[0,+∞] x/2 e^(-x) dx
显然
∫x/2 e^x dx
= x/2 e^x - ∫ 1/2 e^x dx
=x/2 e^x - 1/2 e^x 代入上下限0和-∞
= -1/2
而
∫x/2 e^(-x) dx
= -x/2 e^(-x) + ∫ 1/2 e^(-x) dx
= -x/2 e^(-x) - 1/2 e^(-x) 代入上下限+∞和0
=1/2
所以相加得到EX=0
再由公式得到
EX²=∫[-∞,+∞]x² (1/2)e^(-|x|)dx
而x² (1/2)e^(-|x|)是一个偶函数，
那么积分之后得到的就是一个奇函数，
所以
EX²=2∫[0,+∞]x² (1/2)e^(-x)dx
=∫[0,+∞]x² e^(-x)dx
而
∫ x² e^(-x)dx
= -e^(-x) x² + ∫e^(-x)dx²
= -e^(-x) x² + ∫2x e^(-x)dx
= -e^(-x) x² - ∫ 2x d[e^(-x)]
= -e^(-x) x² - 2x e^(-x) + ∫2e^(-x)dx
= -e^(-x) x² - 2x e^(-x) - 2e^(-x)
所以代入上下限得到
EX²=∫[0,+∞]x² e^(-x)dx= 2
于是
DX=EX²-(EX)²=2
解得EX=0，DX=2
以后做题目的时候要记住，
看到积分区域是对称的时候，
一定要看一下积分函数的奇偶性，
对奇函数积分后得到的就是偶函数，
代入互为相反数的上下限结果一定为0

先求分布函数，再求密度函数，最后求期望。
一个题为例
f(y)=p(y≤y)=p(2x≤y)=p(x≤y/2)=
∫[o,y/2]e^(-x)dx=1-e^(-y/2)
y>0
=0
y≤0
f(y)=f'(y)=(1/2)e^(-y/2)
y>0
=0
y≤0
ey=∫yf(y)dy=2

具体的记不清楚了，没有公式编辑器也打不上，给你说一下思路。
我们知道概率的期望，是用x＊p，然后求和，这个是对于离散的来说
如果对于连续的，应该用那一点的x乘以该点的概率值，即用x＊f（x），再求和，我们要有意识，对于连续的函数，逐点求和就是求积分，这里的积分域是从负无穷到正无穷，
因此这里的第一个式子，把括号里的2x－3当作上面提到的x，而f（x）直接用式子，
最终式子，（2x－3）2e（－2x），对其积分，这里要注意0处分段积分，由于x<0时，f（x）＝0,因此最终结果是在0到正无穷上对上式积分。
不知道是否是这个地方有问题，如果是积分的问题，那只能你自己算了。
另外，积分的时候的技巧，我们知道概率和为1,所以积分的时候也许可能用到，就不用算了，直接带进取就好

不用二重积分的，可以有简单的办法的。
设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其实就是均值是u，方差是t^2，百度不太好打公式，你将就看一下。
于是：
∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。。。。。。（）
积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。
（1）求均值
对（）式两边对u求导：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)][2(u-x)/2(t^2)]dx=0
约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)](u-x)dx=0
把(u-x)拆开，再移项：
∫x[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u∫[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是
∫xf(x)dx=u1=u
这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。
(2)方差
过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。
对()式两边对t求导：
∫[(x-u)^2/t^3]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π
移项：
∫[(x-u)^2][1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2f(x)dx=t^2
正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

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