怎样解齐次线性方程组？

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组。
求向量组的极大无关组的一般步骤：
1 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵；
2 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵；
3主元所在列对应的原向量组即为极大无关组。
求齐次线性方程组通解要先求基础解系，步骤：
a 写出齐次方程组的系数矩阵A；
b 将A通过初等行变换化为阶梯阵；
c 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元（n – r 个）；
d令自由元中一个为 1 ，其余为 0 ，求得 n – r 个解向量，即为一个基础解系。
齐次线性方程组AX= 0：
若X1，X2… ，Xn-r为基础解系，则X=k1 X1＋ k2 X2 +…+kn-rXn-r，即为AX= 0的全部解（或称方程组的通解）。

齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

齐次线性方程组的求解步骤：

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

扩展资料：

齐次线性方程组的性质：

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4、n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）

两个齐次方程组 AX=0 与 BX=0 同解
<=> 两个方程组的系数矩阵A与B的行向量组等价
<=> 存在可逆矩阵P, 满足 PA=B
常用必要条件: 齐次线性方程组同解, 则 系数矩阵的秩相同

具体如下：

齐次线性方程组，常数项全部为零的线性方程组，性质：

1齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。

知识拓展：

齐次线性方程组只有零解和有非零解的意思是什么意思：

齐次线性方程组只有零说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解）,即A的秩r（A）=未知数的个数n A为列满秩矩阵。

齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解A的秩，小于未知数的个数n。

如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

若0不是特征值，在令特解y=x^kQm(x)e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

比如如果Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的单根，在令特解y=x^kQm(x)e^λx中，k=1，λ=0，即y=xQm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y=x^kQm(x)e^λx中，k=2，λ=0，即y=x^2Qm(x)。

类比线性代数方程：

a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = c

是非齐次的，因为未知数 xi 的次数是 1，但常数项是 0 次的。

而

a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = 0

就只有 1 次项，所以称为齐次的。

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