方向导数和梯度

为什么会有方向导数？
在微积分课程中，我们知道函数在某一点的导数（微商）代表了函数在该点的变化率。微分和积分，它们的定义都是建立在极限的基础上。对于单变量函数f(x)，它在x0处导数是：当x趋近于x0时，函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，即微商（导数）等于差商的极限
对于单变量函数，自变量只有一个，当x趋近于x0时只能在直线上变动，移动的方向只有左右两方。
然而，对于多变量函数，自变量有多个，表示自变量的点在一个区域内变动，不仅可以移动距离，而且可以按任意的方向来移动同一段距离。因此，函数的变化不仅与移动的距离有关，而且与移动的方向有关。 因此，函数的变化率是与方向有关的。这也才有了方向导数的定义，即某一点在某一趋近方向上的导数值。 假设给定函数u=u(M)，取一点M0=(x0,y0,z0)，L是由M0出发的任一半直线，则u在M0点L的方向导数定义为:
梯度
上面有了方向导数的定义，我们进一步来推导方向导数的表示，命L的方向余弦为(cosα,cosβ,cosγ)，则L上的M可表示为
于是u对L的方向导数为
注意，在上面的推导中用到了全微分公式

令向量, L方向可以表示为 因为l是一个单位向量，所以
这表达了L上的方向向量其实是n在L方向上的投影。当L的方向变化，投影量随之改变，也就代表了不同的方向导数。 当L与n同向时，便取得最大值|n|，我们称n为u在该点的梯度。 可以看到梯度即是某一点最大的方向导数，沿梯度方向函数有最大的变化率（正向增加，逆向减少）。
另外还可以证明，在某一点的梯度方向，就是过该点的等值面的切平面的法线方向。 但需要注意的是，这并不是定理，只是等值函数的法向量的表达式与函数的梯度的表达式一致而已，并非两者之间必然的存在关系。因此，在某一点沿着梯度看去，等值面分布最密，即达到临近等值面的距离最小。
多变量函数的极值

对于单变量函数，若在某点取得极值，则该点的导数为0。 同样对于多变量函数，在某点为极大值或极小值只有当在该点的每个偏导数等于0才有可能，也就是说梯度等于0。 因此，在多变量函数中，驻点，也就是导数为0的点，指的是每个偏导数等于0，也就是梯度等于0的点。进而，在求极值时，我们可以先找到梯度为0的驻点，在通过定理（查书呗）判断它是否是极值点，极大值还是极小值。
原文参考:>定义我就不说了，你自己查一下书。
方向导数是函数沿各个方向的导数，梯度是一个向量，因此梯度本身是有方向的。
它们的关系主要有两个：
1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的，换句话说，一个函数在各个方向都有方向导数，其中梯度这个方向的导数为最大；
2、函数方向导数的最大值为梯度的模。
数学之美团队为你解答，如有疑问请追问，如果解决问题请采纳。

沿着（1,2）到（2,2）方向就是（2-1,2-2）=（1,0）所以cosa=1sina=0

方向导数=fx1+fy0=fx=2;fx表示在点（1,2）对x的偏导；

颜（1,2）到（1,1）方向就是（1-1，1-2）=（0，-1）所以cosa=0sina=-1方向导数就是=fx0-fy1=-2所以fy=2;

fy表示点（1,2）对y的偏导；

第一问，grad=fx i+fy j=2i+2j;

第二问，方向（4-1，6-2）=（3,4）,所以cosa=3/5sina=4/5;

方向导数就是 fx 3/5+fy4/5=14/5;

大概就是这样。不懂再追问，满意请点个采纳。

解：
向径的单位方向：
(x0,y0,z0)/[√(x0)²+(y0)²+(z0)²]
因此，该向径的方向角为：
cosα=x0/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
cosβ=x0/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
cosγ=z0/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
函数u=(x²/a²)+(y²/b²)+(z²/c²)在该向径的方向导数为：
∂u/∂r0
=u'x·cosα+u'y·cosβ+u'z·cosγ
=2(x0)²/a²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²] + 2(y0)²/b²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²] +2(z0)²/c²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
=2[(x0)²/a²+(y0)²/b²+(z0)²/c²]/√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
=2[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]/a²b²c²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
在点M0处的梯度的模为：
|gradu(x0,y0,z0)|
=√[(u'x0)²+(u'y0)²+(u'z0)²]
=√{[2(x0)²/a²]²+[2(y0)²/b²]²+[2(z0)²/c²]²}
=2√{[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]}/a²b²c²
根据题意：
∂u/∂r0=|gradu(x0,y0,z0)|，则：
2[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]/a²b²c²√[(x0)²+(y0)²+(z0)²]
=2√{[b²c²(x0)²+a²c²(y0)²+a²b²(z0)²]}/a²b²c²
因此：
a=b=c

梯度 gradU = {Ux,Uy,Uz} = {y²z,2xyz,xy²},注意这是向量
gradU(1,-1,2)={2,-4,1}
沿梯度方向的方向导数 = |gradU(1,-1,2)| = √(4+16+1) = √21

你可以这样想象一个z=f(x,y)的三维图像，每一个（x,y）点都有一个z与之映射，可以想象得到那将是一个曲面，然后你想象曲面上一个特定的点，它就像你在爬山的时候站在半山腰一样。
如果你平的在那个半山腰左右走，那么你的高度是不会变的。这里高度就是z的值。这条你刚刚走的线就是等值线。既然在求梯度的时候要求导，正如一元函数一样，你把“很小的曲面”当作“平面”来求导，正如你在一元函数中把“一小段曲线”当化做"直线"一样。你可以想象如果你笔直朝着山顶走，就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的话）。这条向上的线的就是梯度向量加上z的增量所组成的向量。（注意，二元函数的梯度是二维的向量。两个维度是自变量。）
现在你已经在这个曲面上找到了等值线和梯度了，试想下，你在一个斜的平面上走，向上升最快的方向是不是唯一的呢？平着走和向上走两个方向是不是垂直的呢？所以说,梯度是等值线的法线方向
这就是梯度几何意义，如果用向量乘来计算，那将是
→ →
Δz = grad z · L
我很奇怪为什么打出来这个点乘符号这么小。左边是z的增加量，就是上升多少，右边是一个向上走的方向，一个是你现在选择的前进的方向向量。这里选择前进方向为（Δx,Δy）,得到：
ΔZ=Z'｜x · ΔX +Z'｜y ·ΔY 你可以看到,这就是二元函数偏导的定义
现在把你前进的速度定为1,也就是L的长度定为1,得到的值就是方向导数这是因为你选定了方向和速度,那么左边就是你上升的速度,也就是方向导数
希望我的话对你理解有所帮助

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