算术平均值的中误差怎么算

一、算术平均值

设对某量作了n次等精度的独立观测，观测值为l1，l2，l3，…，ln。则其算术平均值为

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我们认为算术平均值是一组同精度观测值的最可靠值。为什么呢？可以用偶然误差的特性加以证明。

设观测量的真值为X，则观测值的真误差为

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（5-8）式内各式两端相加，并除以n，得

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由（5-7）式知x=

，代入上式并移项，得

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当观测次数n无限增加时，根据偶然误差特性，有

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所以

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故当n无限增加时，算术平均值趋近于真值。如n为有限次数

亦为一微小量，算术平均值x仍较各观测值接近于真值。我们将最接近于真值的近似值，称为“最或然值”（或称为“最可靠值”）。

二、观测值改正数

观测量的最或然值与观测值之差，称为“观测值改正数”。当为等精度观测时，算术平均值x与观测值l之差，即为观测值改正数V。有

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将上面各式两端相加，得

［V］=nx-［l］

由（5-7）式知nx=［l］，代入上式，得

［V］=0 （5-10）

（5-10）式说明观测值改正数的一个重要特性，即在等精度观测时，观测值改正数的总和为零，这可作为计算中的一项检核。如果算术平均值的计算存在舍入误差，则改正数的和小于等于±05n，即∑V≤05n，n为观测值个数。

三、由观测值改正数计算观测值中误差

在实际工作中，观测量的真值X往往是不知道的，在等精度观测中，一般只知道算术平均值x和观测值改正数V，因此不能用（5-4）式计算中误差。在这种情况下，可用V来代替真误差，由下式计算观测值的中误差

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上式的证明如下：

由（5-8）式及（5-9）式，可得

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将上面各式两端平方后相加，得

［ΔΔ］=［VV］+n（X-x）2-2（x-X）［V］ （b）

因［V］=0，（x-X）则为算术平均值的真误差。令δ=（x-X），代入（b）式后

［ΔΔ］=［VV］+nδ2 （c）

两端除以n

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将（a）中各式相加，得

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将式（e）两端平方后

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Δ1Δ2，Δ2Δ3，…为偶然误差的乘积，当观测次数无限增大时，这些乘积亦具有偶然误差特性，因此有

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又由式（5-4a）知

，将此式及（g）式代入（d）得

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整理后，即得

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证毕。

四、算术平均值的中误差

算术平均值x的中误差M，可由下式计算

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或

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证明略。

（5-12）式说明，算术平均值的中误差M，仅为本组任一观测值中误差m的

，即其精度提高了。由此可见，对一个量增加观测次数取其平均值，可以提高精度。但增加次数较多时，不仅工作量大，而且精度的递增亦趋缓慢。例如，n=16时，精度为观测中误差的1/4倍，n=36时，观测次数比n=16时增多了20次，而精度仅比前者提高2倍。因此，当要求精度较高时，在可能的情况下，应考虑选用较精密的仪器和改善观测方法。

例5-1有一段距离，在相同的观测条件下用30m钢尺测量4次，其结果如表5-2的第2栏。求该段距离的最或然值及其中误差。

表5-2

解：为了消除系统误差，加入尺长、温度和倾斜的改正数，得到改正后的长度。改正后的长度主要含有偶然误差。由于是等精度观测，其算术平均值作为最或然值，得

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观测值改正数及中误差的计算见表5-2。m=±58mm，为任一次观测值的中误差；M=±29mm，则为算术平均值的中误差。最后结果为

x=89574m±29mm

相对中误差为

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例5-2使用同一经纬仪用测回法观测一水平角，共五个测回，其结果见表5-3。求该水平角的最或然值及其中误差。

表5-3

解：由于是等精度观测，故其算术平均值为最或然值，为了使计算简便，取初始值x0=64°21′00″，则

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观测值改正数和中误差计算见表5-3。一测回观测值的中误差为m=±195″，算术平均值的中误差为M=±87″。故最后结果为x=64°21′06″±87″。由于角度观测误差与角的大小无关，所以不必计算相对中误差。

1
（1）、样本均值的抽样标准差=总体标准差/sqrt（样本量）=25/sqrt(40)=079057
sqrt代表开平方,代表乘号
你将我的公式复制、粘贴至Excel的公式编辑栏中就可以直接得到计算结果
（2）、由于你的题目已经知道了总体标准差,只需用Excel计算标准正态分布在在95%的置信水平下（也就是5%显著水平下）的双侧临界值就可以进而计算允许误差：
Z（005/2）=NORMSINV(1-005/2)=1959963985 NORMSINV(005/2)= -1959963985
Z（005/2）也可以通过查找统计学教科书的附表而得
95%的置信水平下的允许误差=Z（005/2）× 样本均值的抽样标准差=1959963985079057=15495
（3）、
总体均值95%置信区间的下限=样本均值-允许误差=25-15495=234505
总体均值95%置信区间的上限=样本均值+允许误差=25+15495=265495
2
（1）、抽样分布的均值就是总体均值,也就是20；样本均值的抽样标准差=16/sqrt(64)=2
（2）、样本均值的抽样分布服从t分布t分布为以0为中心,左右对称的单峰分布,其形态变化与样本量n（确切地说与自由度ν）的大小有关样本量n越小,t分布曲线越低平；样本量n越大,t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线
（3）、Z=（样本均值-总体均值）/样本均值的抽样标准差=(155-20)/2= -225
（4）、Z=（样本均值-总体均值）/样本均值的抽样标准差=(23-20)/2= 150

平均偏差和相对平均偏差计算方式：平均偏差是指单次测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。相对平均偏差=平均偏差/平均值（注意最后求出的是百分数）。
相对平均偏差
公式：相对平均偏差=平均偏差/平均值（注意最后求出的是百分数）
用途：平均偏差,相对平均偏差,标准偏差,相对标准偏差
平均偏差:avg_d=(abs(d1)+abs(d2)++abs(dn))/n;相对x的平均偏差:%=avg_d/x100%。

平均偏差除以平均值。

在一次实验中得到的测定值： 00105 mol/l、 00103 mol/l 和 00105 mol/l。

则相对平均偏差的求算：三个数总和为00313，平均值为00104，分别用平均值减去原值后取其绝对值，然后相加，得到值为00003，再用00003除以取样次数3，得到平均偏差00001，再用00001除以平均值00104，得到相对平均偏差为096154%。

定义：

在统计中，如果要反映出所有原数据间的差异，就要在各原数据之间进行差异比较，当原数据较多时，进行两两比较就很麻烦，因此需要找到一个共同的比较标准，取每个原数据值与标准值进行比较。这个标准值就是算术平均数。

平均偏差就是每个原数据值与算术平均数之差的绝对值的均值，用符号AD(average deviation)表示。平均偏差是一种平均离差。离差是总体各单位的标志值与算术平均数之差。因离差和为零，离差的平均数不能将离差和除以离差的个数求得，而必须将离差取绝对数来消除正负号。

公式：相对平均偏差=平均偏差/平均值（注意最后求出的是百分数）

用途：平均偏差, 相对平均偏差,标准偏差,相对标准偏差

平均偏差: avg_d = ( abs(d1)+abs(d2)++abs(dn) ) / n;相对x的平均偏差: % = avg_d / x 100%。

举例

在一次实验中得到的测定值： 00105 mol/l、 00103 mol/l 和 00105 mol/l

则相对平均偏差的求算：三个数总和为00313，平均值为00104，分别用平均值减去原值后取其绝对值，然后相加，得到值为00003，再用00003除以取样次数3，得到平均偏差00001，再用00001除以平均值00104，得到相对平均偏差为096154%。

扩展资料：

存在意义：

进行分析时，往往要平行分析多次，然后取几次结果的平均值作为该组分析结果的代表。但是测得的平均值和真实数值间存在着差异。

所以分析结果的误差是不可避免的，为此要注意分析结果的准确度，寻求分析工作中产生误差的原因和误差出现规律，要对分析结果的可靠性和可信赖程度作出合理判断。

分析结果的准确度、精密度是药物分析中常遇到的问题，目前分析中常采用平均偏差、标准偏差及其相对平均偏差、相对标准偏差(RSD)以考察分析结果精密度。常用于分析化学的定量实验。

参考资料：

百度百科---相对平均偏差

（一）样本平均数的平均误差
以μx表示样本平均数的平均误差， 表示总体的标准差。根据定义：
1、当抽样方式为重复抽样时，样本标志值是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。所以得：
（1）
它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。
例1:有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？
解：根据题意可得：(件)
总体标准差(件)
抽样平均误差(件)
2、当抽样方式为不重复抽样时，样本标志值
不是相互独立的，根据数理统计知识可知：
（2）
当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为：
（3）
与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以
，而
总是小于1，所以不重复抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。如前例，若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为：
(件)
在计算抽样平均误差时，通常得不到总体标准差的数值，一般可以用样本标准差来代替总体标准差。
（二）抽样成数的平均误差
总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。即E(X)＝P，它的标准差。
根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。
1、在重复抽样下
（4）
2、在不重复抽样下
（5）
当总体单位数N很大时，可近似地写成：
（6）
当总体成数未知时，可以用样本成数来代替。

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