如何判断周期函数周期.

1三角函数的周期可以根据公式,弦函数的2π/w,切函数的π/w（w为正）
2一般的函数需要根据周期的定义来判断,不过除了三角函数外,没有给出解析式的函数是周期的函数,所以这类函数往往都是告诉你这个函数的一个性质,让你推知周期,常见 的周期情况有
f(x+T)=f(x),周期为T
f(x+a)=-f(x),周期为2a
f(x+a)=1/f(x),周期为2a
f(x+a)=－1/f(x),周期为2a
f(x+a)=1＋f(x)/1-f(x),周期为4a
3周期的本质是自变量增加一个值以后,函数值恒变回原来的值,可以对照函数的性质式观察：
如f(-x-3)=f(-x),其实就是对-x这个量来说,减少了3,函数值返回,故周期为3
f(x-3)=f(x＋3),x+3相对x-3来说,增加了6,这样函数值总是不变,故周期为6
注意和这种形式对比：
1f(－x-3)=f(x＋3),这个其实说提x+3和它的相反数-(x+3)的函数值一直相等,故说明其为偶函数
2f(－x＋3)=f(x＋3),括号里两个自变量在数轴上关于x＝3对称,故图像关于直线x＝3对称
以上请注意仔细体会

1:对称性：一个函数：f(a+x)=f(b-x)成立，f(x)关于直线x=(a+b)/2对称
f(a+x)+f(b-x)=c成立，f(x)关于点（(a+b)/2，c/2）对称
两个函数：y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称
证明：取一点(m,n)在函数上，证明经过对称变换的点仍在函数上
如中心对称公式证明：取一点(m,n)在函数上，对称点为(a+b-m,c-n)
f(a+(b-m))+f(b-(b-m)=c 则f(a+(b-m))+n=c,也就是说f(a+(b-m))=c-n 对称点也在函数上

2周期性:f(x+A)= －f(x) 周期2A
f(x+A)= ＋或－ 1/f(x) 周期2A
证明：设周期为nA，f(x+nA)==f(x)

3,周期性与对称性同时出现，求周期（定义在R上函数），此时画图可以得到直观答案。
关于x=a,x=b对称 周期 2(a-b)
关于(a,0)和x=b对称 周期4(a-b)
如证明关于(a,0)和x=b对称 周期4(a-b)：f(x)= - f(2a-x)
f(x)=f(2b-x)
- f(2a-x) =f(2b-x)
- f(2a+x) =f(2b+x)
f(x+4(a-b))= - f(x+2a-2b)=f(x)
例题 y=f(x)满足f(x+1)=f(1-x)和f(x+3)=f(3-x)周期为4
证明 f(x+1)=f(1-x)=f(3+(-2-x))=f(3-(-2-x))=f(x+5)

y=sinx纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍之后是y=sin05x
横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍之后是y=2sinx
对于y=sinwx
周期T为2π/w
若纵坐标不变，横坐标变为原来的t倍
由图像可知周期T‘=2πt/w=2π/(w/t)
即w’=w/t

1直观法若函数图像可由某一段重复平移而衔接得到,则该函数是周期函数,且这一段图像两端点的横坐标之差是这个函数的一个周期例如：正弦函数及余弦函数正弦函数 余弦函数 2利用函数运算特性判定函数的周期性定理

---