如何证明仿射变换是平移变换和伸缩变换的结合

我就用文字叙述吧~看没人来答，我就说个大概。
仿射变换就是一个线性变换再接上一个平移。
平移变换是向量与各基准轴的夹角不变，向量形状不变，位置改变。
伸缩变换包括尺度缩放和拉伸变换，前者是不改变向量与各坐标轴夹角的，而后者改变。
因此非零向量α经伸缩变换后可以变成起始点与原向量相同的任一非零向量，记为β，再对β进行平移变换，使其位于空间中的任意位置，平移到新位置的向量记为γ。
由于上述两步中的每一步都是满秩变换，故是一对一的变换。
于是任意给一个目标向量，都能由已知非零向量经过以上固定的两个步骤变换而得到。这两个步骤的有序结合就是仿射变换。

首先先理解数学中的矩阵乘法公式，在3行2列 2行列，也就是第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数一定是相等。

请看图解：

接下来讲解缩放、平移、拉伸、旋转四种变换原理，在三维中，通过光源照射下，不断变换光源，则在投影中得到不同的结果。

只变换矩阵的光源的位置，把光源拉近放远，则投影得到缩放的图像，看图解：

只变换矩阵的第三列的位置的数据，则投影得到平移的图像，看图解：

只变换矩阵的x, 或是y的位置，则投影就会得到拉伸的图像，看图解：

先记住公式：

平移是用x+a去代替x
伸缩,是用kx去代替x
所以先平移,後伸缩,则会把x变成x+a,再变成kx+a
而先伸缩,後平移,则会把x变成kx,再变成k(x+a)=kx+ka

1平行移动
两曲线最高元前的系数相同，而次高元前系数或常数项不同，二者就是平移得到。
（如y=x^3+4x^2+3最高元是x的3次方项；y=2x^2+2x+1最高元是x的2平方项）
（1）次高元前系数不同为左右平移，如：
y=3x^2+6x+3=3(x+1)^2是y=3x^2向左平移1单位；
y=3x^2-6x+3=3(x-1)^2是y=3x^2向右平移1单位；是y=3x^2+6x+3向右移2单位得到。
（2）仅常数项不同为上下平移，如：
y=3x^2+3可以看成y-3=3x^2,是y=3x^2垂直向上平移1单位；
y=3x^2-3可以看成y+3=3x^2,是y=3x^2垂直向下平移1单位；是y=3x^2+3向上移6单位得到。
(3)对于直线方程，由于最高元为一次项，常数项也可以看成是次高元，因此，对于常数项不同的两个直线方程，既可以看成是左右平移，也可以看成上下平移，在此不予赘述。
2伸缩变换
设a、b、c、n均为常数，对于y=a(x+c)^n和y=b(x+c)^n两曲线,a、b符号相同且不等，二者就是通过伸缩变换得到。其中a/b>1，则为拉伸；a/b<1为压缩。
在伸缩变换中，正余弦函数表现最明显，如：
y=sinx是在[-1,1]之间振荡，而y=2sinx是在[-2,2]之间振荡，后者相当于把前者在纵向拉伸2倍；又y=sin2x同在[-1,1]之间振荡，但周期是y=sinx周期的一半，前者相当于后者横向压缩了1/2
再如：函数y=(x+1)^2与y=2(x+1)^2，如果作一条直线y=k，(k>0),与两曲线相交于两点，两点之间的线段长度关系：后者是前者的2倍，即相当于把其中一个压缩或拉伸。

3翻转变换
设a、c、n均为常数，对于y=a(x+c)^n和y=-a(x+c)^n两曲线,二者就是通过以x轴翻转变换得到的。
当然，在实际解题中，遇到的情况一般是多种情况同时具备，如：y=3(x-2)^2是把y=x^2通过向右平移2,再纵向拉伸3倍得到；y=2sin2x是y=sinx横向压缩1/2，纵向拉伸2倍得到；y=3x^2+6x+4＝3(x+1)^2+1是y=2x^2-4x+2=2(x-1)^2先左移2,再上移1，然后再纵向拉伸3/2倍得到。

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