一元二次方程的求根公式是怎么得到的

一般来说，一元二次方程的解法有：(注：以下^是平方的意思。）
一、直接开平方法。如：x^2-4=0
解：x^2=4
x=±2(因为x是4的平方根）
∴x1=2,x2=-2
二、配方法。如：x^2-4x+3=0
解：x^2-4x=-3
配方，得(配一次项系数一半的平方）
x^2-22x+2^2=-3+2^2(方程两边同时加上2^2，原式的值不变）
（x-2)^2=1方程左边完全平方公式得到（x-2)^2
x-2=±1
x=±1+2
∴x1=1,x2=3
三、公式法。（公式法的公式是由配方法推导来的）
-b±∫b^2-4ac(-b加减后面是根号下b^2-4ac)
公式为：x=-------------------------------------------（用中
2a
文吧，希望你能理解：2a分之-b±根号下b^2-4ac)
利用公式法首先要明确什么是a、b、c。
其实它们就是最标准的二元一次方程的形式：ax^2+bx+c=0
△=b2-4ac称为该方程的根的判别式。
当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根。
有些时候，做到b2-4ac<0时，需要讨论△，因为根号下的数字是非负数，<0也就没有实数根，也就没有做的意义了。
a代表二次项的系数，b代表着一次项系数，c是常数项
注意：用公式法解一元二次方程时首先要化成一般形式，也就是ax^2+bx+c=0的形式，然后才能做。
解题时按照上面的公式，把数字带入计算就OK了。这对任何一元二次方程都可以 *** 作。

二次函数是一个二元二次方程，根有无数个，不能求得尽。
一般情况，当Y=0时，可化为一元二次方程，那么根就用求根公式来求，特殊情况还可以用因式分解法来求。
aX^2+bX+c=0,
当b^2-4ac≥0时，根为X=[-b±√(b^2-4ac)]/2a

这是一个齐次式（每一项的次数都是二次，没有常数项）
此时可以等式两边同时除以b^2，得到（a/b）^2+2(a/b)-1=0
把a/b整体作为未知数x，即x^2+2x-1=0,解这个方程，得到a/b=-1+根号2或-1-根号2

△的公式与求根公式推导是-b±√b²-4ac/2a，一元二次方程的表达式是ax²＋bx＋c=0（a，b，c都是常数）当b²-4ac＞0时，有两个不相等的实数根。当b²-4ac=0时，有两个相等的实数根。
这时可以使用上述求根公式求根。当b²-4ac＜0，没有实数根。 对于方程：ax2＋bx＋c＝0：b2－4ac叫做根的判别式。1、求根公式是x当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根。

注意：当△≥0时，方程有实数根。2、若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)。 3、以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m 例1．解方程（1）(3x+1)^2;=7 （2）9x^2;-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2;，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x=﹙√7﹣1﹚/3,x=﹙﹣√7-1﹚/3 （2）解： 9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙ 4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x=﹙4﹢√11﹚/3,x= ﹙4﹣√11﹚/3 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²= +(4/6 )² 配方：(x-4/6)²= +(4/6 )² 直接开平方得：x-4/6=± √[ +(4/6 )² ] ∴x= 4/6± √[ +(4/6 )² ] ∴原方程的解为x=4/6﹢√﹙10/6﹚,x=4/6﹣√﹙10/6﹚ 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x=,x= 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 (3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）

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