如何应用matlab进行fft分析

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换

到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如

果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号

分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱

提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去

做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用

多少点来做FFT。

现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样

定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就

不在此罗嗦了。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，

经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT

运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT

之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率

点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始

信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT

的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A

的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量

的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个

点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也

可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示

采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率

依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果

采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。

1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒

时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时

间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率

分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和

采样时间是倒数关系。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是

An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，

就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：

An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。

对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，

即小于采样频率一半的结果。

好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的

信号来做说明。

假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、

相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、

相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。

我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。

按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个

点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号

有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、

第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？

我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

图1 FFT结果

从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有

比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：

1点： 512+0i

2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51点：332.55 - 192i

52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76点：3.4315E-12 + 192i

77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值

都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。

接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，

结果如下：

1点： 512

51点：384

76点：192

按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；

50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的

幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来

的幅度是正确的。

然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管

它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,

结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再

计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，

换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。

根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达

式了，它就是我们开始提供的信号。

总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某

一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值

除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以

N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算

可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角

度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒

的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，

这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成

分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是

采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度

达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。

具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]

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Adc=2 %直流分量幅度

A1=3 %频率F1信号的幅度

A2=1.5%频率F2信号的幅度

F1=50 %信号1频率(Hz)

F2=75 %信号2频率(Hz)

Fs=256%采样频率(Hz)

P1=-30%信号1相位(度)

P2=90 %信号相位(度)

N=256 %采样点数

t=[0:1/Fs:N/Fs]%采样时刻

%信号

S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180)

%显示原始信号

plot(S)

title('原始信号')

figure

Y = fft(S,N)%做FFT变换

Ayy = (abs(Y))%取模

plot(Ayy(1:N))%显示原始的FFT模值结果

title('FFT 模值')

figure

Ayy=Ayy/(N/2) %换算成实际的幅度

Ayy(1)=Ayy(1)/2

F=([1:N]-1)*Fs/N%换算成实际的频率值

plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)) %显示换算后的FFT模值结果

title('幅度-频率曲线图')

figure

Pyy=[1:N/2]

for i="1:N/2"

Pyy(i)=phase(Y(i))%计算相位

Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi%换算为角度

end

plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)) %显示相位图

title('相位-频率曲线图')

看完这个你就明白谐波分析了。

function y=myditfft(x)

%本程序对输入序列实现DIT-FFT基2算法，点数取大于等于长度的2的幂次

%------------------------------------

%

myditfft.c

%------------------------------------

m=nextpow2(x)

%求的x长度对应的2的最低幂次m

N=2^m

if length(x)<N

x=[x,zeros(1,N-length(x))]

%若的长度不是2的幂，补0到2的整数幂

end

nxd=bin2dec(fliplr(dec2bin([1:N]-1,m)))+1

%求1：2^m数列的倒序

y=x(nxd)

%将倒序排列作为的初始值

for mm=1:m

%将DFT做m次基2分解，从左到右，对每次分解作DFT运算

Nmr=2^mm

u=1

%旋转因子u初始化

WN=exp(-i*2*pi/Nmr)

%本次分解的基本DFT因子WN＝exp(-i*2*pi/Nmr)

for j=1:Nmr/2

%本次跨越间隔内的各次碟形运算

for k=j:Nmr:N

%本次碟形运算的跨越间隔为Nmr=2^mm

kp=k+Nmr/2

%确定碟形运算的对应单元下标

t=y(kp)*u

%碟形运算的乘积项

y(kp)=y(k)-t

%碟形运算的加法项

y(k)=y(k)+t

end

u=u*WN

%修改旋转因子，多乘一个基本DFT因子WN

end

end

matlab自带的fft函数是快速傅里叶变换函数。主要用于降噪处理，通过使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量。

该函数使用方法：

方法一：

Y = fft(X) 用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。

如果 X 是向量，则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。

如果 X 是矩阵，则 fft(X) 将 X 的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换。

如果 X 是一个多维数组，则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换。

方法二：

Y = fft(X,n) 返回 n 点 DFT。如果未指定任何值，则 Y 的大小与 X 相同。

如果 X 是向量且 X 的长度小于 n，则为 X 补上尾零以达到长度 n。

如果 X 是向量且 X 的长度大于 n，则对 X 进行截断以达到长度 n。

如果 X 是矩阵，则每列的处理与在向量情况下相同。

如果 X 为多维数组，则大小不等于 1 的第一个数组维度的处理与在向量情况下相同。

我们通过下例，来了解fft函数使用过程：

第一步、指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1.5 秒。

Fs=1000；%采样频率

T=1/Fs；%采样周期

L=1500；%信号长度

t=（0:L-1）*T；%时间向量

第二步、构造一个信号，其中包含幅值为 0.7 的 50 Hz 正弦量和幅值为 1 的 120 Hz 正弦量。

S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t)

第三步、用均值为零、方差为 4 的白噪声扰乱该信号。

X = S + 2*randn(size(t))

第四步、在时域中绘制含噪信号。通过查看信号 X(t) 很难确定频率分量。

plot(1000*t(1:50),X(1:50))

title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')

xlabel('t (milliseconds)')，ylabel('X(t)')

第五步、计算信号的傅里叶变换。

Y = fft(X)

第六步、计算双侧频谱 P2， 计算单侧频谱 P1。

P2 = abs(Y/L)

P1 = P2(1:L/2+1)

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1)

第七步、定义频域 f 并绘制单侧幅值频谱 P1

f = Fs*(0:(L/2))/L

plot(f,P1)

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)')

xlabel('f (Hz)')，ylabel('|P1(f)|')

运行结果。

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