蒙特卡罗方法的原理

问题描述:

比较深刻的而且易懂的介绍monte-karlo方法的基础原理

解析:

蒙特卡罗法又称随机抽样技巧法或统计试验法，在目前结构可靠度计算中，它被认为是一种相对精确法。其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。

设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。

首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。

从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。

当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。

假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。

蒙特卡罗方法基于这样的想法：假设你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。

当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。借助计算机程序可以生成大量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的比例和坐标点生成范围的面积就可以求出图形面积。

原则上，蒙特卡罗方法可用于解决任何具有概率解释的问题。根据大数定律，由某个随机变量的期望值描述的积分可以通过取变量的独立样本的经验均值（也就是样本均值）来近似。

当变量的概率分布被参数化时，数学家经常使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）采样器。  中心思想是设计一个具有规定的平稳概率分布的明智马尔可夫链模型。

也就是说，在极限情况下，由 MCMC 方法生成的样本将是来自所需（目标）分布的样本。 通过遍历定理，通过MCMC 采样器的随机状态的 经验测量来近似平稳分布。

工作过程

使用蒙特卡罗方法估算π值. 放置30000个随机点后,π的估算值与真实值相差0.07%.

在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：

1、用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。

2、用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

如果我们要求