常见的泰勒展开式

常见的泰勒展开式如下：

泰勒公式展开式：一个函数N阶可导，则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X。

f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数，0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小。用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!，而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例。

泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数，也可由已知的函数的导数值推出原函数多用于求极限问题。比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限，f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x=1+x+x/2。

那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2用导数定义去理解，f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x-\u003ex0。那么就有当x-\u003ex0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)，lim f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小。

泰勒公式展开式大全

1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。

2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。

3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。

4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。

5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。

6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。

含义

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

泰勒公式是一种将一个函数在某一点附近展开成无限项多项式的方法，其推导过程如下：

设$f(x)$在$x=a$处有$n$阶导数，则有：

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

其中，$\xi$是$x$和$a$之间的某个值，即$x$和$a$之间的某个点。

这里解释一下上式中的各个符号：

- $f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数；

- $k!$表示$k$的阶乘；

- $(x-a)^k$表示$(x-a)$的$k$次方。

接下来我们来证明上述公式。

首先，我们定义一个新函数：

$$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

这里，我们将$f(x)$用其在$a$处展开成$n$次多项式来逼近它自己。然后，我们要证明当$n\rightarrow \infty $时，有：

$$R_n(x)\rightarrow 0$$

也就是说，在无限次展开后，误差会趋近于零。

接着，我们对上式进行求导，并利用了求导的线性性质：

$$R_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)-\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j+k)}(a)}{j!}(a-a)^j=f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a)=0$$

这里，我们用到了当$j<k$时，$f^{(j+k)}=0$。

因此，我们得到：

$$R_n(x)=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

这里，我们用到了拉格朗日中值定理。注意到当$n\rightarrow \infty $时，$\xi$将趋近于$a$。因此，

$$\lim_{n\rightarrow \infty }R_n(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=0$$

证毕。

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