方向余弦计算公式

方向余弦计算公式：方向余弦=(x，y，z)/√(x²+y²+z²)，方向余弦是指在解析几何里，一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。两个向哪轿稿量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦。

“方向余弦矩阵”是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系，也可以用来表达一个李孝向量对于另帆段一组标准正交基的方向余弦。方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。

1、 方向余弦是指在解析几何中，向量的三个方向余弦是向量与三个坐标轴夹角的余弦。

2、 两个向量之间埋清的方向余弦指的是两个向量之间的角度余弦。

3、 “方向余弦矩阵”是由两组不同的标准正交基的基向量之间的方向余弦形成的矩阵。

4、 方向余弦矩阵可以用来表示一组标准正交基与另一组标准正交基之间的弯雀前关系，也可以用来表示一个向量相对于另一组标准正交基的方向余弦。

加以推广，两个向量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦。“方向余弦矩阵”是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系，也可以用来表达岁答一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦。

关于用向量法求二面角余弦值不再细讲，一套流程很简单，在高考题中建立直角坐标系之后需要求出所需要的点坐标，因此有些高考题会在点坐标上设立难度，其实就是给出了另外一个条件，根据这个条件才能够求出所需要的点坐标，比如已知某个二面角的度数等，多练习也能掌握，关于这类有“难度”的向量法求二面角的问题可见下面的连接：

【考前训练】9.立体几何大考前题练习

我们知道二面角的取值范围是【0，π），因此二面角的余弦值有正有负，若扰神通过几何法找出二面角然后通过解三角形可以直接解出正负值，但是若用向量法解时，最后需要判定余弦值的正负，究其原因在于选取的法向量的方向不同，这样会导致两条法向量的夹角并不一定就是二面角的平面角，也可能是其补角，如下图：

如上图所示，两条法向量的方向相同或相反（这里的相同是指的两个平面夹角的方向），则此时向量的夹角的补角是二面角，因此二面角余弦值的符号和两项夹角的余弦值相反；若两条法向量的方向相反，则向量的夹角即为二面角，此时余弦值相同。

对于左图：

对于右图：

但是怎么判断向量的方向是相同还是相反？

有些学生误认为将两个法向量相乘看结果是正是负，但是这种方法错的离谱，因为即便法向量乘积为正也只能说明法向量夹角为锐角，而不能说明二面角的状态：

因此判定法向量方向是否一致并没有太好的方法，只能通过大致判断法向量的方向，注意这个方向是从原点指向法向量终点的方向，例：

上图反映的是法向量方向相同，此时法向量的夹角的补角才是二面角。

上图反映的是法向量方向相反，此时法向量的夹角即为二面角。

简言之：方向相同值相反，反向相反值相同。

如下图中，条件省略，求二面角E-BC1-D的余弦值

若平面EBC1的法向量m=(1,3,1)，此时法向量的方向可以看成从原点指向正方体的右面。

若平面C1BD的法向量为n=(1,-1,1)时，此时法向量的方向可以看成从原点指向正方体的左面。因此向量方向相反，法向量的夹角即为二面角的平面角。

若平面C1BD的法向量为n=(-1,1,-1)时，此时法向量的方向可以看成从原点指向正方体的前下方，此时向量方向相同（指向外），法向量的夹角即为二面角的补角。

上述方法只能大致信李庆判断法向量的方向，但是如果立体感不强滑握，则有可能出错，所以推荐一种用向量法求二面角的新方法：

所以如果我们不求法向量，而是从交线上取一点，在两个平面内各作一条垂直于棱的向量，此时二面角就可以用两条向量的夹角来表示，且方向是一定的，二面角的余弦值和这两条向量的余弦值相同。

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