C++基础：差分约束系统

源点需要满足条件：从原点出发，一定可以走到所有的边。故可设“超级源点”

超级源点：与每一个点相连的虚拟源点

步骤：

1. 先将每个不等式xi≤xj+ck转化成一条从xj走向xi，长度为ck的一条边
2. 找一个超级源点，使得该院点一定可以遍历到所有边
3. 从源点求一边单源最短路

结果：

1. 如果存在负环，则该不等式组无解
2. 如果不存在负环，则di就是原不等式组的一个可行解

当然，求最长路亦可，需将原不等式变形为xj≥xi-ck，再将最短路不等式转化为di≥dj+ck，相当于连一条从xi走向xj、长度是-ck的边

结论：

1. 如果求的是最小值，则应该求最长路（所有下界的最大值）
2. 如果求的是最大值，就应该求最短路（所有上界的最小值）

问题1：如何转化xi≤c，其中c为常数？

解决1：以有向图为例利用超级源点x0，使xi≤x0+c，然后建立x0—>xi，长度是c

问题2：如何转化xi-xj=c，其中c为常数？

解决2：转换为xi-xj≤c和xi-xj≥c

代码：             

 //求最小值->求最长路

#include

#include

#include

#include

#include

#define _for(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)

using namespace std;

const int N=55,M=1280;

int n,m;

int e[M],ne[M],h[N],w[M],idx;

int d[N],cnt[N];

bitset vis;

inline void c_plus(){

       ios::sync_with_stdio(false);

       cin.tie(0);

       cout.tie(0);

}

inline void init(){

       memset(h,-1,sizeof(h));

       idx=0;

}

inline void add(int a,int b,int c){

       e[idx]=b;

       w[idx]=c;

       ne[idx]=h[a];

       h[a]=idx++;

}

bool spfa(){

       memset(d,-1,sizeof(d));//注意：最长路

       d[0]=0;

       queue q;

       q.push(0);

       vis[0]=1;

       while (!q.empty()){

              int now=q.front();

              q.pop();

              vis[now]=0;

              for (int i=h[now];~i;i=ne[i]){

                     int j=e[i];

                     if (d[j]n+1){

                                   return true;

                            }

                            if (!vis[j]){

                                   vis[j]=1;

                                   q.push(j);

                            }

                     }

              }

       }

       return false;

}

int main(){

       c_plus();

       init();

       int u,v,W,op;

       cin>>n>>m;

       while (m--){//op==1:<= op==2:>= op==3 =

              cin>>op>>u>>v>>W;

              if (op==1){

                     add(u,v,-W);

              }else if (op==2){

                     add(v,u,W);

              }else{

                     add(u,v,-W);

                     add(v,u,W);

              }

       }

       _for(i,1,n){

              add(0,i,0);

       }

       if (spfa()){

              puts("NO");

       }else{

              _for(i,1,n){

                     cout<<'x'< 
					
										


					

						
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