正态分布的性质

正态分布的性质：如果X1，…，Xn为独立标准常态随机变量,那么X1²+…+Xn²服从自由度为n的卡方分布。只有相互独立的正态分布加减之后，才是正态分布。如果两个相互独立的正态分X~N(u1,m²)，Y~N(u2，n²)，那么Z=X±Y仍然服从正太分布，Z~N(u1±u2，m²+n²)。

正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ=0,σ=1的正态分布。

（1）曲线在X轴上方，并且关于直线X=μ对称。

P{X＜μ}=P{X＞μ}=0.5

P{X＜μ-a}=P{X＞μ+a}

（2）曲线在X=μ时处于最高点，由这一点向左右延伸时，曲线逐渐降低。X~N（0,1）分布称为正态分布。

（3）正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。

（4）正态分布在三个特殊区间的概率值

P（μ-a≤μ+a）=0.6827

P（μ-2a≤μ+2a）=0.9545

P（μ-3a≤μ+3a）=0.9973

正态分布，英语叫“Normal Distribution”，normal是普通的，正常的意思。如果翻译成“普通分布”，或者“常规分布”，马上就会想到这是在自然界中最常见的一种分布形式，但翻译成“正态分布”，对于像我这种普通人来说，很难立刻想到这是最常见的一种分布。

正态分布是由系统中连续随机变量的 概率密度 函数定义的。设 X  是随机变量， 是概率密度函数，即在一个无穷小的范围内，随机变量出现的概率。

 并且 

正态分布或高斯分布的概率密度函数公式为：

其中，   为随机变量；   为随机变量x在整个变化范围内  的平均值； 为随机变量取值的标准差 (Standard Deviation)。

在正态分布中，所谓“随机变量”指的是在一定变化范围内其值可能为任意一个数值的变量。比如说一个学校学生的身高就是一个随机变量，它可能为1.5 m，也可能为2.0 m，极端的情况它也可能是5 m，只不过这种可能能太低太低了。这个范围是受到实际情况限制的，纯碎数学意义上的正态分布，随机变量的取值范围不受实际条件的限制，可以扩展到 ，并且可以连续变化。当我们确定了随机变量的平均值和标准偏差后，概率密度函数  也就确定下来了，那么对于上任意范围内 X 出现的概率也就可以计算出来。

一般地，对于符合正态分布的随机变量，其标准差是大于0 的实数，表征数据的分布情况。其值越大，则数据越分散，曲线越宽泛；标准差越小，则数据越集中，曲线高而窄。正态分布的钟形曲线是左右对称的，对称轴正好在平均值上，即 正态分布有任何正的标准差。如果采用标准差的倍数分割随机变量的取值范围，那么我们就可以确定不同范围内x出现的概率，比如：

在 范围内，x出现的概率约为68%；

在 范围内，x出现的概率约为95%；

在 范围内，x出现的概率约为99.7%。

以下是正态分布的一些重要性质：

        （1）在正态分布中，平均数、中位数和模相等。

        （2）曲线下的总面积为1，即在全部范围内，随机变量x出现的概率为100%。

        （3）正态分布曲线以 为轴线，左右对称分布。

        （4）正态分布曲线由平均值和标准差来定义。

学生的成绩、人体的身高和血压等数据都符合正态分布。但实际情况，学生的成绩并不符合正态分布。

正态分布咋来的呢？

如果你要向一个直角坐标系投掷飞镖，目标靶心就是直角坐标系的坐标原点，但你知道大部分情况下你都不会正中靶心的，假设所有的投掷都是随机的，并且：

——随机误差与坐标系的方向无关，所以你不要考虑重力会不会对飞镖的位置有影响，现在我们认为，No。

——飞镖的x，y方向时相互独立的，也即是说飞镖落在y的位置不会影响到它在x方向的位置，反之亦然。

—— 大误差出现的可能性比小误差的小。（这个假设符合实际吗？比如误差为0.00001mm 和误差为3mm， 哪个概可能性大，哪个可能性小？）

根据上述假设，在图2中，飞镖落在A处的可能性比落在B位置的可能性要大，同样，落在B位置的概率又大于落在C位置的概率，因为相对B，A更靠近靶心；相对于C，B更靠近靶心。右图中，落在F区域内的概率大于落在E区域内的概率，后者的概率又大于D区域概率，——因为区域的面积依次减小。

所以飞镖落在某一区域的概率与该区域的大小有关，因此我们可以设飞镖落在 范围内的概率为 。类似地，飞镖落在 范围的几率可设为 。

那么在 位置上的 区域内，飞镖出现的概率为

这就是说：

方程两边同时对幅角 取导数，左边式 中因为不含 ，所以导数为0，即

将 代入上式：

即

对于任意不相关的 ,上述微分方程都成立，那么必然就有

分别解微分方程 和

得

由此，

因为 越大，概率越小，但 大于0，所以C必然小于0，设

所以有

这是正态分布曲线的通用表达式，现在我们来确定其中的常数A和k。

我们知道，在整个取值范围 内，随机变量x出现的几率为1，即

重新整理为

因为 为偶函数，在 位置左右对称，所以

即有

同样地，

两式相乘，得

左边用极坐标的形式表达为

左边可积，即可得

则

因此概率密度函数的形式为：

那么问题是： 又怎么确定呢？

当我们在谈论概率时，首先想到的是平均值是什么？数据是怎么分布的？k的大小就会涉及到平均值和分布的问题。现在问题是：如果你知道概率密度函数 ,那么你怎么用它来表达平均值的大小呢？首先你要理解 的含义，它表示在随机变量在x位置 的范围内出现的概率， 表示随机变量取任意 的百分数， 表示随机变量为 时在平均数中的贡献值，在取值范围内将所有的贡献值加起来就是平均值了，即平均值 。类似地，方差大小可表示为 。

你知道函数 为奇函数，所以平均值 ，并且 。将 带入到方差的表达式中，得：

因为 为偶函数，所以上式可以写成

可以看做 的一个分步积分，即有

其中

所以

由此根据上述三个假设，我们可以得到概率密度函数的表达式为:

当随机变量的平均值 不为0时，正态分布的通用表达式为

标准正态分布平均值为0，标准差为1，则概率密度函数表达式为：

done!

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