牛顿莱布尼茨公式是什么？

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且

b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)

这即为牛顿—莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：

编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：

b∫a*f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)=

x∫a*f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)=

x∫a*f(t)dt

编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：

1、定义函数Φ(x)=

x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ

与格林公式和高斯公式的联系

’(x)=f(x)。

证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim

Δx→0

ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。

证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C

于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx

求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx

2,

求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx

3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx

解答：

e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).

1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4

2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+

∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2

x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。

一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有

莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。

拓展资料：

微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。

牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。

来自：百度百科

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