什么是奇函数

奇函数加减奇函数是奇函数。

常用运算方法：

奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

公式推导

设f(x)，g(x)为奇函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+(-g(x))=-t(x)，所以奇函数加奇函数还是奇函数。

若f(x)，g(x)为偶函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=t(x)，所以偶函数加偶函数还是偶函数。

奇偶函数定义

奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

由于奇函数有着独特的简洁而又优美的性质,在解题中,通过奇函数的图像特征,巧用奇函数的定义与性质,往往会发挥出意想不到的效果。奇函数的定义是什么?以下是我分享给大家的关于奇函数的定义，一起来看看吧!

奇函数的定义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd funciton)。

奇函数的简介

1、在奇函数f(x)中，f(x)和f(-x)的符号相反且 绝对值 相等，即f(-x)=-f(x)，反之，满足f(-x)=-f(x)的函数y=f(x)一定是奇函数。

例如:f(x)=x^(2n-1),n∈Z(f(x)等于x的2n-1次方,n属于整数)

2、奇函数图象关于原点(0，0)中心对称。

3、奇函数的定义域必须关于原点(0，0)对称，否则不能成为奇函数。

4、若F(X)为奇函数，定义域中含有0，则F(0)=0.

下图为 奇函数

相关函数：偶函数，非奇非偶函数

5、设f(x)在I上可导，若f(x)在I上为奇函数，则f'(x)在I上为偶函数。

即f(x)=-f(-x)对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)

偶函数与奇函数满足下列基本性质

奇函数的法则

(1) 两个偶函数相加或相减所得的和为偶函数。

(2) 两个奇函数相加或相减所得的和为奇函数。

(3) 一个偶函数与一个奇函数相加或相减所得的和为非奇非偶函数。

(4) 两个偶函数相乘或相除所得的积为偶函数。

(5) 两个奇函数相乘或相除所得的积为偶函数。

(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘或相除所得的积为奇函数。

(7) 若f(x)为奇函数，且f(x)在x=0时有定义，那么一定有f(0)=0。

(8) 定义在R上的奇函数f(x)必定满足f(0)=0。

(9) 当且仅当f(x)=0(定义域关于原点对称)时，f(x)既是奇函数又是偶函数。

(10) 奇函数在对称区间上的积分为零。

奇函数的图像

(1) 奇函数的图象关于原点中心对称。

(2) 偶函数的图象关于Y轴对称。

(3) 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。

(4) 奇函数的偶次项系数等于0，偶函数的奇次项系数等于0。

(5) Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数。

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如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能成为偶函数。

奇函数的图象关于原点中心对称。

偶函数的图象关于Y轴对称。

奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。

奇函数的偶次项系数等于0，偶函数的奇次项系数等于0。

Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数。

奇函数性质

1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数 。

2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5. 当且仅当（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

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