抛物线标准方程

抛物线标准方程：y²=2px(p>0)；y²=-2px(p>0)；x²=2py(p>0)；x²=-2py(p>0)。

抛物线四种方程的异同：

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1。

②对称轴为坐标轴。

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

抛物线标准方程是：y²=2px（p>0）；y²=-2px（p>0）；x²=2py（p>0）；x²=-2py（p>0）。

抛物线是平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线的几何性质：

（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（3）设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。

各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

抛物线方程y^2=2px(p>0)里的p表示焦点到准线的距离。2是常数。

抛物线中的p叫做焦准距，是圆锥曲线的几个基本参量之百一，意义为焦点到对应准线的距离，符号度为p。

一、抛物线的标准方程与几何性质

二、抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p/2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助。

用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用。

由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可。

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解。

典型例题1：

三、求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式。

研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用。

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