椭圆的标准方程！

椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（a>b>0）。

其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点 F为焦点）。

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。

椭圆的面镜

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

离心率范围：0<e<1。离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

可设椭圆方程为

(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)

两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

长轴的两个端点A1(-a，0)，A2(a，0)

因点P在椭圆上，故可设P(acost，bsint)， t∈R。

由两点间距离公式可得

|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²

=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t

=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²

=c²cos²t+2accost+a²

=(a+ccost)²

由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知

0＜a-c≤a+ccost≤a+c

∴|PF1|=a+ccost

∴| PF1|min=a-c，此时，cost=-1，sint=0，P(-a，0)

又|PF1|+|PF2|=2a

∴当|PF1|min=a-c时，|PF2|max=a+c，

此时点P在长轴的一个端点上。

扩展资料：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点，F为焦点)

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c，0)，（c，0)。

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）F2(c，0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0，c)

参考资料来源：百度百科--椭圆的标准方程

共分两种情况：

①当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

②当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2。

拓展资料：

椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

椭圆的基本性质

1、范围：焦点在x  轴上  -a≤x≤a，-b≤y≤b  ；焦点在y  轴上  -b≤x≤b， -a≤y≤a。

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

4、离心率：e＝c/a  或 e=√（1-b^2/a2）。

5、离心率范围：0<e<1。

6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）

8、 P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。

9、椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

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