条件随机向量场CRF

  由于CRF具有考虑上下文关系的特性，因此一般的CRF可以用在图像去噪，平滑图像的过程。但是图像分割过程中产生了分类目标边界模糊的问题，为了得到更精确的最终分类结果，通常要进行一些图像后处理。考虑到图像像素之间的强相关性，因此提出了 全连接CRF 来解决这一问题。

  全连接CRFs与稀疏CRFs的最大差别在于：每个像素点都与所有的像素点相连接构成连接边。为了简化计算，献《Efficient Inference in Fully Connected CRFs with Gaussian Edge Potentials》给出了快速推理算法。接着我们就简单讲解具体的求解算法：

首先，假设图像中的每一点都符合吉布斯分布

其中 是观测值， 是能量函数，也是我们优化的目标， 是归一化因子。

  能量函数 由一元势函数和二元势函数构成，如下公式所示：

其中的 一元势函数 用于衡量像素点的类别概率，自卷积神经网络网络的后端输出。 二元势函数 用于描述像素点和像素点之间的关系，鼓励相似像素分配相同的标签，而相差较大的像素分配不同的标签。这个相似的定义与颜色值rgb和实际相对距离xy相关，所以CRF能够使尽量在边界处分割。

二元势函数公式如下：

其中 叫做标签兼容项（Label Compatibility），它约束了像素间传导的条件，只有相同标签（label）条件下，能量才可以相互传导。 是特征函数，以特征的形式表示了不同像素之前的“亲密度”，第一项被称作表面核，第二项被称作平滑核，公式如下：

一元势即网络预测得到的结果，进行-nplog(py)等 *** 作

得到 unary potentials有两种常见的方法:

1)由人类或其他过程产生的硬标签。该方法由 from pydensecrfutils import unary_from_labels 实现

2)由概率分布计算得到，例如深度网络的softmax输出。即我们之前先对使用训练好的网络预测得到最终经过softmax函数得到的分类结果，这里需要将这个结果转成一元势

对此，请参阅 from pydensecrfutils import unary_from_softmax

1） unary_from_labels(labels, n_labels, gt_prob, zero_unsure=True) 函数的使用

简单分类器，该分类器50%确定注释(即从训练好的网络预测img后得到的结果)是正确的。(与推理示例中相同)。

2） unary_from_softmax(sm, scale=None, clip=1e-5) 函数的使用

将softmax类概率转换为一元势(每个节点的NLL)，即我们之前先对使用训练好的网络预测得到最终经过softmax函数得到的分类结果，这里需要将这个结果转成一元势。

  [1] 如何轻松愉快地理解条件随机场（CRF）？

  [2] 图像语义分割之FCN和CRF

  [3] >

RAO，即response amplitude operator，在船舶或者浮体设计领域，RAO是一个工程统计的概念，可以用来计算船舶在海中工作时的行为。船体RAO一般可以通过船舶的水池模型实验或者CFD计算机程序来获得。通常需要计算浮体在各种波浪情况下的船体运动。其本质是一个由波浪激励到船体运动的传递函数。

RAO的计算方法。在计算浮体在规则波中的响应时，在一些运动情况中，是可以忽略水流的粘性影响的。通过势函数理论可以精确计算RAO，详细的计算过程通常可以划分成以下两个子问题：

1计算浮体在规则波中的受力，这部分受力包括两部分，即Froude–Kriloff 力和Diffraction力，类似静力情况下的计算。

2计算在流体中导致浮体振荡时，浮体受到的力。这部分力包括，使浮体具有加速度的惯性力，阻尼力，以及使浮体恢复平衡状态的平衡力，类似结构分析中的动力情况下的计算。

RAO即right anterior oblique，右前斜位，X线检查心脏投影方法。右前斜位：心前缘自上而下由主动脉弓及升主动脉、肺动脉、右室前壁和左室下端构成。心前缘与胸壁间有三角形透明区，称为心前间隙或胸骨后区。心后缘上段为左房，下段为右房，两者间无清楚分界。心后缘与脊柱之间称为心后间隙或心后区。食管通过心后间隙，钡剂充盈时显影。

如何用matlab 求解高阶方程？

用roots（p）函数求解 其中p是方程的各次方的系数组成的矩阵 比如 你这道题的求根程序为： roots(p)matlab运行后的结果为：ans =103180 40487 18166 + 13141i 18166 - 13141i

如何用MATLAB求解LOGISTIC方程

至于Lyapunov方程的求解，你可以查下，下面我编写的一个帖子，里面详细说明了Lyapunov方程该如何使用Matlab求解，你可以参考下

Lyapunov、Sylvester和Riati方程的Matlab求解:matlabsky/thread-539-1-1

%by dynamic

%see also :matlabsky

%contact me matlabsky@gmail

%20092

%

急~如何利用MATLAB求解高阶方程的系数

依题意就变成了以下的方程组

%a+x(1)b+x(1)^2c+x(1)^3d=y(1);

%a+x(2)b+x(2)^2c+x(2)^3d=y(2);

%a+x(3)b+x(3)^2c+x(3)^3d=y(3);

%写成矩阵的形式:xx(34)aa(41)=y(31) 其中31表示3行1列

x=[1 2 3];y=[2; 1; 5];%依题意写入知道的X和Y的三组值

c=[0 1 2 3];

xx=zeros(3,4);

for i=1:3

xx(i,:)=x(i)^c;

end

aa=xx\y %因为是一个超定方程,即方程个数小于未知数个数只能得到一个特解

结果:

aa =

33636

0

-21364

07727

matlab如何用ode求解x’’+x=t这种二阶方程

分成两个一阶的做。

请问一个方程如何用MATLAB求解，

fsolve即可

如何用matlab求解线性方程组

比如：

1x1+2x2=3

4x1+7x2=5

怎么解方程呢？

A=[1,2;4,7];%系数矩阵

b=[3;5];%等号右边列

x=inv(A)b

如何用matlab求解微分方程并画图

function zd0412

function dy=odefun(t,y)

dy=[y(2);

3sin(2t)+exp(t)y(1)-ty(2)];

end

tspan=[0,2];

y0=[1;-1]

[t,y]=ode45(@odefun,tspan,y0);

plot(t,y(:,1))

end

如何用matlab求解定态薛定谔方程

摘要：本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。然后，以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例，详细介绍了矩阵法求解薛定谔方程的过程及公式推导。最后，通过MATLAB编程仿真实现了求解结果。

关键词：定态薛定谔方程求解 矩阵法

MATLAB仿真

薛定谔方程简介

11背景资料

薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。其仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

薛定谔方程建立于

1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为

在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。

量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

定态薛定谔方程直角坐标系形式

定态薛定谔方程球坐标系形式

12定态薛定谔方程

条件

V（r,t）=V(r)， 与t无关。

用分离变量法,

令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：

此称定态薛定谔方程

整个定态波函数形式：

特点：

波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；

B．时间部分函数是确定的。

定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。

13本征方程、本征函数与本征值

算符： 本征方程：

λ：本征值，有多个，甚至无穷多个

ψλ：本征值为λ的本征函数，也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。

14

定态情况下的薛定谔方程一般解

1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值，而相应的解称为能量的本征函数。

2、当不显含时时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。

3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。

2

利用矩阵法求解薛定谔方程

以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例。

该粒子的势能是，是谐振子的角频率，因此谐振子的哈密顿量为

。

当时，谐振子的势能变为无穷大，因此，粒子只能在有限的空间上运动，并且能量值谱是分立的。下面采用矩阵的方法，确定谐振子的能量分立值。

从运动方程出发

（1）

而势能 那么

又代入上式（1）得

即 （2）

在矩阵形式下，该方程可以写为

含时坐标矩阵元

（3）

对它求导，我们得到

代入上式后，有

（4）

其中

（5）

所以，除了当或外，所有的坐标矩阵元都等于零

当时，由（5）式有

即 同理，

因此，只有变化时，才能得到频率即

所以不为零的坐标矩阵元为

根据定义[12-14]

对于存在的波函数，应为实数，所有的矩阵元也为实数，由厄密算符的性质得

为了计算坐标的矩阵元，由对易关系

又 代入上式易得

写为矩阵形式，有

根据矩阵的乘法规则，有

又，则有由前面的分析知，只有时，才存在矩阵元，代入上式，

从该方程我们可以得出

矩阵元不为零，但是当时，矩阵元则

即

又

依次类推，得出

最后，我们得到坐标矩阵元不为零的表达式

又谐振子的能量可以用来表示，且，计算该能量得

其中，对于全部的1求和，只有当参数时坐标矩阵元不为零，因此得到

亦即

因此，谐振子的能级以为间隔，最低能级是

MATLAB仿真结果

线性谐振子的前六个本征函数

上图为线性谐振子的前六个本征函数，图中纵轴横线表示具有相同能量的经典线性谐振子的振动范围。

有限方势阱前六个本征函数

上图为有限方势阱的前六个本征函数，图中纵轴横线表示具有相同能量的经典线性谐振子的振动范围。

如何用matlab求解向量微分方程

ODE部分--------ODE--->ordinary differential equations先总述一下:D 1、ode的求解器ode       ODE的求解器有很多，在help里可以查到。列出了每一种求解器的适应范围（stiff或者nonstiff）以及它采用的数学原理，比如Runge-Kutta，Adams,NDFs之类。（这个在数值分析课中会学到，可惜偶当时觉得很无聊，后悔中）。      大家有时间多去了解了解，懂了来给大家分享分享:D 。      如果不懂那么多理论，优先采用ode45，如果你发现它计算的效率特别低下或者是计算根本出不来，则考虑换ode15s。     sol是任意名字。对于怎么把要求解的方程写为function，2楼例子。所以你告诉求解器这三样东西（输入参数）,它就可以为你求解出y。                       sol = ode45(@yourfun,[tmin,tmax],[y0,y0'])                                          你的公式    积分范围    初值                  sol=ode45(@vdp1,[0,20],[2,0]);      把以上代码命令行里直接执行，这是matlab自带的一个例子。在workspace里你会看到多了一个变量叫sol没错这就是求解器的返回值。它是一个11的结构体。双击它，你会看到它的内部组织，各个field以及它们的“形状”。每一个你都可以双击它，继续深入看它的结构。我现在关心的只有X,Ysolverextdata,x,y,stats,idata================================================================================2、求解计算完毕后，我们可以做什么      首先，当然是得到结果。      deval(sol,x,1)       sol如上，写在求解等号左边的变量名字，是返回来的handles。x是一组向量，是你期望求值的点。数字1就表示你要y第一行的值（这个是在求解微分方程组的情况。不明白什么叫第一行，就去双击sol,再双击y），如果去掉1，则返回矩阵，也就是所有y的值。在matlab命令行运行以下代码:     sol=ode45(@vdp1,[0,20],[2,0]);x=linspace(0,20,100);y=deval(sol,x,1);plot(x,y);      此外，我们还可以扩展，matlab叫做odextend。扩展什么？         odextend(sol,odefun,tfinal)       看到最后一个变量名了吧，t_final 这样明显一点。也就是，我之前算过的微分方程组，原来算到t1，我现在要接着继续计算到新的t_final。默认以上次计算的y终值，作为此次计算的初值。         odextend(sol,odefun,tfinal,yinit)      当然，如果你想重新给它赋初值，也可以加入参数yinit。（友情提示：获取上次计算的Y的终值：y=soly(:,end)）      sol=odextend(sol,@vdp1,20);plot(solx,soly(1,:))=====================================================================================      3、求解器的参数设置   也 就是option这个东西，既然是选项，则也可以不设置它，采用默认值。        要设置的话，可以用odeset这个命令。怎么用？       option=odeset('name1',value1,'name2',value2) （matlab所有参数设置基本上都是这种形式）                    name自然就是属性名字。value就是你赋予它的值。求解器可以设置哪些参数，而设置了这些参数有什么影响，而这些参数应该则么设置。在命令行里输入 help odeset:D 。看到的绝对比我讲得详细。所以我不多说了。（友情提醒，如果使用ode15什么来着，可以为它设置Jacobian这个参数，以更快更准更好的求解。如何设置，不懂的话，偶过后会贴。）        O=odeget(option,'name')         编过GUI的话这两个命令再熟悉不过了:D

有时在INCAR文件用了ISYMM=0，打破对称性优化，但是，虽然这个关键词是在不保持对称性的前提下优化，但是可能还是以前的对称性，或许最终的能量最低的结构是一个对称性降低的结构，这种情况在dope中常常遇到，而Jahn-Teller效应或许直接影响到体系的性质。所以面临的问题就是如果真正打破这种对称性。这种优化不能找到最低能量的原因：主要可能是在保持对称前提下找到了一个local能量最小点，而非全局的最小点。当然对于IBRION的设置可能也会影响到计算的结构。详细的情况可以参看vasp说明书。

就单层地下水承压-无压稳定井流问题而言，典型的条件是圆岛模型和直线定水头边界模型，对于前者虽然早在20世纪中期曾用分段法获得其解（北京地质学院，1961a）（如前文所述，将“影响半径”改为“圆岛半径”），但实际条件难以遇到此类模型，因此本节以直线定水头边界模型为典型讨论之。

对于非轴对称的复杂井流问题，分段法已难以应用。下面介绍基于吉林斯基势函数的地下水承压-无压稳定井流的模型（Chen等，2006）。

Гиринский势函数最初定义为水平层状介质的势。将其用于承压-无压井流问题，对于均质承压含水层区段，Гиринский势可写为

地下水动力学（第五版）

均质无压含水层区段，Гиринский势函数可写为

地下水动力学（第五版）

式中：φ为Гиринский势函数；K为渗透系数；M和H分别为承压含水层的厚度和地下水头；h为无压含水层的饱和厚度。

当含水层由承压转变为无压状态时，其转折处（h＝H＝M）的势φc对于方程（10-1-1）式和（10-1-2）式均有效，这时临界的Гиринский势可表达为

地下水动力学（第五版）

当φ>φc时，为承压区段；当φ<φc时，为无压区段。对于轴向对称等厚承压含水层中单井径向抽水来说，其流量可用Гиринский势函数表示

地下水动力学（第五版）

对于无压含水层来说，流量可写为

地下水动力学（第五版）

可见，利用Гиринский势函数使承压区和无压区具有同一表示形式。上式积分，得

地下水动力学（第五版）

式中C1为积分常数，由边界条件确定。

对于直线定水头边界的稳定抽水井流问题（图10-1-1），利用前述的反映法获得一虚拟注水井，再通过势叠加原理，得平面上任意点p的势为

地下水动力学（第五版）

由边界条件确定积分常数：已知直线定水头边界y轴处（r′＝r）的势为φ0，由上式得

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代回（10-1-7）式，得

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式中：λ为抽水井至直线定水头边界的距离；r和r'分别是实井和虚井至点p的距离。该式为势的分布方程，配合（10-1-1）式～（10-1-3）式，可以计算水头/水位分布。当满足

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为等势线/等水头线。此方程表示的为圆方程

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图10-1-1 傍河承压-无压井流图

地下水动力学（第五版）

其圆心（x0，y0）和半径R为

地下水动力学（第五版）

和

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不同的C值，具有不同的等势线。

若将p点移至井半径rw处，相应势为φw，则（10-1-8）式改写为

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或

地下水动力学（第五版）

这是分别计算抽水井水位和流量的用势表示的方程，配合（10-1-1）式～（10-1-3）式，可以利用水头/水位计算流量。

势函数的构造是人工势场方法中的关键问题。势函数其值为物理上向量势或是标量势的数学函数，又称调和函数，是数学上位势论的研究主题，同时在平摊分析（amortized analysis）的势能法中，用来描述过去资源的投入可在后来 *** 作中使用程度的函数。

定义

定义 ：

满 足 以 下 条 件 的连 续 函数 称 为 势 函数 ：

(1 )

(2 ) 存 在 , 使得 在上单调递增，在上单调递减，并称 为此势函数的中心点，为此势函数的高度[1] 。

典型的势函数构造方法：P(θ)=f{d(θ,θ0),[dR(θ),O],dT}(1)，式中 θ，θ0——机器人当前位姿与目标位姿矢量；d(θ,θ0)——θ与θ0间的某种广义距离函数；dR(θ)，O——当前位姿下机器人与障碍物间的最小距离；dT——给定的门限值；P(θ)分别为变量d(θ,θ0)和dR(θ)，O的单调递增函数和单调递减函数。

对势模型

在 20 世纪 80 年代以前 ,分子动力学模拟一般都采用对势模型。对势可以比较好地描述除金属和半导体以外的几乎所有无机化合物。有些对势是经过一定的理论分析而得到的，但其中一些参数则需要根据宏观实验参数用经验方法来确定，这些宏观实验参数主要有d性常数、平衡点阵常数以及内聚能、空位形成能和层错能等，这些称为半经验势。后来，为了拟合的方便，人们在选择势函数的形式时，并不一定要求有确切的理论依据，而是出于经验的估计和拟合方便的需要，相对自由地选择势函数形式 ，这样确定的势函数被称为经验势 [1] 。

几种典型的的半经验势

1、Lennard-Jones势

Lennard-Jones [2] 势函数的解析表达式可写为 ：

。

其中 ， 反映了相互作用的强度；反映了原子的大小。根据量子力学二次微扰论的偶极子-偶极子相互作用可导出 n =12 ，这一项描述了范德瓦耳斯力 后一项是排斥力 ，其来源之一是原子核之间的库仑斥力，来源之二是电子之间由于泡利不相容原理产生的交叠能。

2、Morse 势

1929 年，Morse 注意到双原子分子的振动谱的量子力学问题可用指数形式的势函数解析地解决 ，并发现计算结果与实验一致[2] 。于是他提出如下形式的势函数 ：

。

Mo rse 势和 Lennard-Jones 势的曲线形式非常相似。M orse 势常常用来构造各种多体势的对势部分。

3、Born —Mayer 势

Born 和 M ayer [2] 估计碱金属离子之间的排斥项可用指数形式表示，于是提出如下形式的势函数：

。

参考资料

[1] 王青,华炜,秦学英,鲍虎军 基于势函数的广义有理参数曲线[J] 自然科学进展,2004,02:91-97

[2] 黄海波L10-TiAl 中角度相关势和 Ni3Al 中点缺陷的分子 动力学研究[ D] 北京:北京航空航天大学, 2003

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