matlab-龙格库塔

你的这个问题不在于龙格库塔。这是一个边值问题（BVP），而不是初值问题。

我把程序给你，自己先看看，有问题再问吧。

不用再加分，当作新年礼物了，祝学习进步！

function zd523737127

% 解的初始估计

solinit = bvpinit(linspace(0,4,10),[5 05 1 2]);

% BVP问题求解

sol = bvp4c(@ode,@bc,solinit);

% 结果绘图

t=solx;

vars={'x_1', 'x_2', '\lambda_1', '\lambda_2'};

for i=1:length(vars)

subplot(2,2,i);

plot(t,soly(i,:));

xlabel('t');

ylabel(vars{i});

end

function dY=ode(t,Y)

x1 = Y(1);

x2 = Y(2);

lambda1 = Y(3);

lambda2 = Y(4);

% 微分方程

dY=[

x2(lambda1x1/60+40)-002x1-20;

(lambda2(1-x2)/30+50)(1-x2)-20x2;

002lambda1+50(x1-075);

60(x2-24)+lambda2(70+lambda2(1-x2)/30)-lambda1(lambda1x2/60+40)

];

% 边界条件

function res=bc(ya,yb)

res=[ya(1)-5; ya(2)-05; yb(3); yb(4)];

拉格朗日function y=lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=00;

for k=1:n

p=10;

for j=1:n

if j~=k

p=p(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=py0(k)+s;

end

y(i)=s;

end SOR迭代法的Matlab程序

function [x]=SOR_iterative(A,b)

% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵

x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值

tol=10^(-2); % 给定误差界

N=1000; % 给定最大迭代次数

[n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶

w=1; % 给定松弛因子

k=1;

% 迭代过程

while k<=N

x(1)=(b(1)-A(1,2:n)x0(2:n)')/A(1,1);

for i=2:n

x(i)=(1-w)x0(i)+w(b(i)-A(i,1:i-1)x(1:i-1)'-A(i,i+1:n)x0(i+1:n)')/A(i,i);

end

if max(abs(x-x0))<=tol

fid = fopen('SOR_iter_resulttxt', 'wt');

fprintf(fid,'\n用SOR迭代求解线性方程组的输出结果\n\n');

fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);

fprintf(fid,'x的值\n\n');

fprintf(fid, '%128f \n', x);

break;

end

k=k+1;

x0=x;

end

if k==N+1

fid = fopen('SOR_iter_resulttxt', 'wt');

fprintf(fid,'\n用SOR迭代求解线性方程组的输出结果\n\n');

fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);

fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');

fclose(fid);

end Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。

(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，极限为Yn'）

Yn+1=Yn+hf(Xn,Yn)

另外根据微分中值定理，存在0<t<1,使得

Yn+1=Yn+hf(Xn+th,Y(Xn+th))

这里K＝f(Xn+th,Y(Xn+th))称为平均斜率，龙格库塔方法就是求得K的一种算法。

利用这样的原理，经过复杂的数学推导（过于繁琐省略），可以得出截断误差为O(h^5)的四阶龙格库塔公式：

K1＝f(Xn,Yn);

K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)K1);

K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)K2);

K4=f(Xn+h,Yn+hK3);

Yn+1=Yn+h(K1+2K2+2K3+K4)(1/6);

所以，为了更好更准确地把握时间关系，应自己在理解龙格库塔原理的基础上，编写定步长的龙格库塔函数，经过学习其原理，已经完成了一维的龙格库塔函数。

仔细思考之后，发现其实如果是需要解多个微分方程组，可以想象成多个微分方程并行进行求解，时间，步长都是共同的，首先把预定的初始值给每个微分方程的第一步，然后每走一步，对多个微分方程共同求解。想通之后发现，整个过程其实很直观，只是不停的逼近计算罢了。编写的定步长的龙格库塔计算函数：

function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点（参数形式参考了ode45函数）

n=floor((b-a)/h);%求步数

x(1)=a;%时间起点

y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数

for ii=1:n

x(ii+1)=x(ii)+h;

k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));

k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+hk1/2);

k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+hk2/2);

k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+hk3);

y(:,ii+1)=y(:,ii)+h(k1+2k2+2k3+k4)/6;

%按照龙格库塔方法进行数值求解

end

调用的子函数以及其调用语句：

function dy=test_fun(x,y)

dy = zeros(3,1);%初始化列向量

dy(1) = y(2) y(3);

dy(2) = -y(1) + y(3);

dy(3) = -051 y(1) y(2);

对该微分方程组用ode45和自编的龙格库塔函数进行比较，调用如下：

[T,F] = ode45(@test_fun,[0 15],[1 1 3]);

subplot(121)

plot(T,F)%Matlab自带的ode45函数效果

title('ode45函数效果')

[T1,F1]=runge_kutta1(@test_fun,[1 1 3],025,0,15);%测试时改变test_fun的函数维数，别忘记改变初始值的维数

subplot(122)

plot(T1,F1)%自编的龙格库塔函数效果

title('自编的 龙格库塔函数')

你这个微分方程，初始值x，y都是0

然后dx/dt dy/dt始终是0，得到的结果肯定全部都是0

稍微改了一下初始值，x(0)=05  y(0)=05

t=0:h:8;

z=zeros(2,length(t));%z两行，第一行x，第二行y

z(1,1)=05;%x0

z(2,1)=05;%y0

f=@(t,z) [z(1)-z(1)z(2);-z(2)+z(1)z(2)];

  for ii=1:length(t)-1    

      k1=f(t(ii),z(:,ii));    

      k2=f(t(ii)+h/2,z(:,ii)+k1/2); 

      k3=f(t(ii)+h/2,z(:,ii)+k2/2);    

      k4=f(t(ii)+h,z(:,ii)+k3);   

      z(:,ii+1)=z(:,ii)+h(k1+2k2+2k3+k4)/6;  

  end 

R=[t' z'];

subplot(121),plot(R(:,1),R(:,2:3));

xlabel('t');legend('x','y');

subplot(122),plot(R(:,2),R(:,3));

axis equal;xlabel('x');ylabel('y');

function [x,y]=runge_kutta(ufunc,y0,h,a,b)

n=floor(b-a)/h;

x(1)=a;

y(:,1)=y0;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+h;

k1=ufunc(x(i),y(:,i));

k2=ufunc(x(i)+h/2,y(:,i)+hk1/2);

k3=ufunc(x(i)+h/2,y(:,i)+hk2/2);

k4=ufunc(x(i)+h,y(:,i)+hk2);

y(:,i+1)=y(:,i)+h(k1+2k2+2k3+k4)/6;

end

用matlab的ode45（）函数求解常微分方程组。ode45的基本原理是采用四、五阶龙格库塔方法。

1、常微分方程组的自定义函数odefun（t，y），其主要内容

dy(1)=-01y(1)-1999y(2);

dy(2)=-200y(2);

2、t、y1、y2的求解

[t,y]=ode45(@odefun,[0:1e-5:01],y0)

3、数值解与解析值对比结果

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