广义最小残差法和共轭梯度法的区别

答：共轭梯度法是以函数的梯度构造共轭方向的一种算法，具有共轭方向的性质。共轭梯度法具有超线性收敛速度。梯度法与共轭梯度法的区别是：

1)最速下降法(梯度法) ：搜索方向为目标函数负梯度方向，计算效率优于坐标轮换法。开始几步搜索下降快，但愈接近极值点下降愈慢。对初始点的选择要求不高，适合与其它方法结合使用。

2)共轭梯度法：第一步搜索沿负梯度方向，然后沿负梯度的共轭方向搜索。计算效率介于梯度法和牛顿法之间。对初始点没有特殊的要求，不需要计算二阶偏导数矩阵及其逆矩阵，计算量与梯度法相当。适用于各种规模的问题

如何降低电动机转速

是三相交流电的，用增加磁极数或降低频率（变频）都能达到这个目的，如果是直流电的定了是永磁式的只能是增加转子的磁极数（线圈形成的磁极），其他的可同时增加定子和转子的磁极数，降低电压也行，但是。会降低功率，一般不可取

如何让电动机减慢转速？

直流电机可降低电压，采用可调的，交流电机需用变频器，或滑差调速器。

怎么降低电机的转速 20分

如果是异步电机，则增加负载就可以降速。

如果是同步电机或采用变频器供电的电机，则降速的方法主要是调整电压或电流的频率。

直流电机的话，增加负载也可以降低频率（电压不变时）。

哦，这个问题比较难回答。

怎么降低电机的转速

所有电机都有额定转速，4极电机转速1440r,2极电机2800r,6极电机860r

降低电机本身的转速主要通过调频进行，需要增加变频器

如何降低普通直流电机的转速

最简单的办法 你去试试 但不保证 一般鱼缸电机是220VAC输入 如果方便 你就换个110VAC输入 输入电压降一半 相对的功率转速都会降一半

怎样让三相电机转速降低 40分

这个简单，改变电机的速度有以下伐法：

1、改变电源频率

2、改变频电机极对数

目前利用变频器来改变电机输入电源频率达到控制电机速度的做法比较广泛。

如何降低电动机的转速

在一般情况下，如果电动机低速运行，将使温升增高，产生许多不良影响。但是，若采取改善通风条件的措施（如增设风扇或附设风机等），提高电动机的散热能力，则在不超过额定温升的前提下，直流电动机可以长期低速运行。

以并励直流电动机为例，可采用以下三种方法来降低转速：

(1)降低端电压。由于电源电压一般是固定的，难以改变。而且降低端电压，将导致励磁电流减少，因此又会使电动机的转速升高，所以这种方法很少采用。

（2）增加励磁电流，即增高磁场强度。由于受磁路饱和的限制，且电源电压难以升高，励磁绕组的固有电阻不能改变，所以这种方法应用不广。

（3）在电枢回路中串联电阻，降低电枢端电压。这种方法最简单，容易实行，所以是降低直流电动机转速的一种最常用的方法。

不过最简单的方法用变频器^_^ 希望这个回答对你有帮助

怎么样才能控制电机的转速？？

控制电机的转速，可以使用调压、变频的方式。

现在普遍使用的是变频方式，通过变频器改变电机的运行频率而改变电机的转速。变频器的频率是可以随意设定的，不同的输出频率电机会有不同的转速。

至于具体的应用，请查阅一些变频器的资料。请了解变频器的工作原理、控制电机速度的方式。

单相电机，如何把转速降低！！！ 10分

你好：——1、普通电容分相交流电动机的转速，与电动机的构造有关。主要的线圈构成的“极数”（极对数），决定了电动机的额定转速。——2、单相电容电机极数固定了，电机的额定转速也就固定了，电容器的作用，是使副绕组与主绕组之间形成90度的电角度。增大电容量（或减小的容量），都会使副绕组与主绕组之间偏离90度的电角度，转速反而会下降的！——3、单相串励电动机，可以改变转子电枢电刷的角度，调整转速的。单相并励电动机，降低励磁电流，也会提高转速。总之，不同单相电机，结构不同，方法各异。你提的问题条件存在不足，应该交代清楚的，以便别人帮助你。

如何通过c语言程序降低电机转速

这个得有硬件的。比如直流电机，编程控制电流电压，步进电机控制延时等等

高密度电阻率法的测量系统在施工现场采集到大量关于地电断面结构特征的地质信息，并以数字的形式保存在随机存储器中。将其传入微机进行数据转换、处理与解释，然后生成供推断解释用的各类图件。图146为高密度电阻率法资料处理与解释系统框图，实际工作中可根据具体情况的需要选用其中某些过程。

图146 高密度电阻率法数据处理与解释流程框图

1431 滤波处理方法

三电位电极系中，偶极和微分排列所测视电阻率曲线随着水平极距的加大，曲线由单峰变为双峰。绘成断面图时，除了和地质对象相对应的主异常外，一般还会出现强大的伴随异常。为消除或减弱三电位电极系视电阻率曲线中振荡成分的影响，简化异常形态，可以采用数字滤波方法，并将这种滤波称为扩展偏置滤波。

扩展偏置滤波器有4个非零的权系数：012，038，038，012。在滤波计算中，无论间隔系数为几的剖面测量结果，都应把滤波系数置于4个活动电极所对应的点上，在电极之间插入和电位相同的零系数。例如，n=2，滤波器长度为7，相应的权系数依次是：012，0，038，0，038，0，012。图147为二维地电模型正演模拟曲线的滤波处理结果。由图可见，未经滤波的剖面曲线随间隔系数的增大，曲线形态复杂；经滤波处理后的剖面曲线，形态大为简化，伴随异常的幅值减小并远离主极值。

图147 二维地电模型正演模拟曲线的滤波处理

点画线为滤波前原始曲线；实线为滤波后的结果

1432 视比值参数

(1)Ts比值

高密度电阻率法的野外观测结果除了可以绘制相应装置的视电阻率断面图外，根据需要还可绘制两种比值参数图。考虑到三电位电极系中三种视电阻率异常的分布规律，选择了温纳β装置和温纳γ装置两种装置的测量结果为基础的一类比值参数。该比值参数的计算公式为

电法勘探

由于温纳β和温纳γ这两种装置在同一地电体上所获得的视电阻率总是具有相反的变化规律，因此用Ts参数绘制的比值断面图，在反映地电结构的分布形态方面，远比相应装置的视电阻率断面图清晰和明确的多。

图148 是对所谓地下石林模型的正演模拟结果。模型的电性分布如图148 c所示，其中温纳a装置的 拟断面图(图148a)几乎没有反映，而Ts比值断面图(图148b)则清楚地反映了上述模型的电性分布。

图148 模型上方视电阻率和比值参数Ts等值线断面图

(2)λs比值

另一类比值参数是利用联合三极装置的测量结果为基础组合而成的，其表达式为

电法勘探

式中：ρs(i)和ρs(i+1)分别表示剖面上相邻两点视电阻率值，计算结果示于i和i+1 点之间。

根据前面所学知识，有

电法勘探

则

lgλs(i，i+1)=lgFA(i)-lgFB(i+1)

而lgFA的差商为

电法勘探

令Δx=1，则lg λs为lg FA曲线的差商，或者说lg λs描述了岐离带曲线剖面水平方向的变化率。

图149表征比值参数λs在反映地电结构能力方面所作的模拟实验。视电阻率 断面图(图149a)只反映了基底的起伏变化，而λs比值断面图(图149b)却同时反映了基底起伏中的低阻构造。

图149 模型上方视电阻率和比值参数λs等值线断面图

1433 统计处理

统计处理包括以下内容：

(1)利用滑动平均计算视电阻率的有效值，例如，三点平均

ρx(i)=[(ρs(i-1)+ρs(i)+ρs(i+1)]/3

式中：ρx(i)为i点的视电阻率有效值，i=1，2，3，…。

(2)计算统计参数

平均值： = · ρx(i)(N 为断面上的总测点数)

标准差：σA=∑

(3)计算电极调整系数

电法勘探

式中： (L)为电极距为L时全部视电阻率观测数据平均值。

(4)计算相对电阻率

电法勘探

通过计算相对电阻率，可以在一定程度上消除背景影响，相对视电阻率等值线断面图更能明显地反映地电体沿剖面的横向变化。

(5)对视参数分级

为了对视参数进行分级，首先必须按平均值和标准差关系确定视参数的分级间隔。间隔太小，等级过密，间隔太大，等级过稀，这都不利于反映地电体的分布。一般情况下，以采用五级制为宜，即根据平均值和标准差的关系划分四个界限

电法勘探

利用上述视参数的分级间隔，可将断面上各点的ρs(i)或ρy(i)划分成不同的等级，用不同的符号或灰阶表示时，便得到视参数异常灰度图。例如，ρs(i)＜D1，低阻；ρs(i)=D1～D2，较低阻；ρs(i)=D2～D3，中等；ρs(i)=D3～D4，较高阻；ρs(i)＞D4，高阻。

视参数的等级断面图在一定条件下能比较直观和形象反映地下介质的电性分布特征。当然，我们也可用不同的颜色来表示不同的等级，得到视参数异常色谱图。

统计处理原则上适应于三电位电极系中各种电极排列的测量结果，只是在考虑视电阻率参数图示时，由于偶极和微分两种排列的异常和地电体之间具有复杂得对应关系，因此一般只对温纳a装置的测量结果进行统计处理。温纳-斯伦贝尔格热装置的测量结果也可进行统计处理。

1434 高密度电阻率法二维反演

在地球物理学中，地球物理反演是利用在地球表面观测到的物理数据推测地球内部介质物理状态的空间变化及物性结构。如果把地球物理问题分为资料采集、数据处理和反演解释三个阶段的话，那么，资料采集是基础，数据处理是手段，反演解释才是地球物理工作最终目的。

在高密度电阻率法中，仅根据高密度电阻率法的视参数等值线断面图(ρs、Ts、λs)或视参数分级灰度图来进行定性解释显然是很不够的。为了获得地下介质电性分布更为精确的电性结构与空间分布，目前最常用的方法是进行视电阻率断面二维反演。

(1)二维反演的基本原理

二维反演同一维反演的数学实质相同，都是要寻找一个地电模型，使其对应的理论计算值与实测视电阻率在一定法则下重合最好。数学上将求解这类问题的方法称为最优化方法。

用计算机对物探异常进行定量解释的最优化算法，实际上是求解多元函数极值的一种方法。最优化算法种类很多，如最速下降法(高斯法)、共轭梯度法、牛顿法、变尺度法(拟牛顿法)、最小二乘法、阻尼最小二乘法(马奎特法)、单纯性法等。

在电法资料定量解释中，最优化算法的基本步骤可归结为：

1)给出实测视电阻率离散值。

2)根据已知物性资料、地质资料和定性解释成果，确定地电模型，即给出地电模型初值。

3)通过正演计算得到地电断面的理论值。

4)评定理论计算值和实测视电阻率的拟合程度，即通过计算拟合差来判定拟合程度。

5)若拟合差不符合要求，则修改模型参数值，并根据修改后的地电模型参数重新计算理论值。

6)再次评定拟合程度，反复修改地电模型参数，直至拟合差达到事先给定精度为止。

7)此时地电模型参数即为解释结果。

完成上述过程的关键是用何种方法来评定拟合程度，以及如何修改模型参数。

评定拟合程度时，由于精确的地球模型我们并不知道，只能用方差来衡量它的质量，通常采用理论计算值和实测视电阻率两者偏差平方来作为衡量标准，即

电法勘探

式中：ε(x)为目标函数；δk(x)为偏差函数；Ek为实测数据；fk(x)为理论计算值；k为离散点之顺序；m为采样点数；x为理论模型参量。

式(144)的意思是，建立一个目标函数，使总误差恰好是向量δ(x)的欧几里得长度的平方。在数学上，范数经常作为长度或大小的某种度量，并且用一组双竖直线段来表示。如 即为向量e的范数。以向量元素的n次幂之和为基础的范数是最常用的，并且称之为Ln，如

L1范数：

电法勘探

L2范数：

电法勘探

随着幂次的逐步提高，e的最大元素的权也逐步增大。最小二乘法系用L2范数来定量表示长度。这里有一个问题，为什么采用L2范数而不是采用其他范数呢这要看数据的特性。依据前述可知，幂次不同，对不同大小的误差所加的权也不同。换句话说，低阶范数对不同尺度给予的权相差不大，而高阶范数对大误差给予优惠。当数据服从高斯分布时，此时应用L2范数解是最合理的。然而，虽然高斯分布的数据在地球物理测量中是很常见的，但是大多数据集中总有那么几个“坏”数据，它们的存在说明数据并不完全服从高斯分布的统计性质。在反演之前不曾把这些坏数据去掉的话，那么最好用使L1范数最小化的反演方法，如线性规划法等，因为这时最小二乘法给予坏数据的权仍然过大。

如果给定初值x(0)，修正量为Δx，修正后的参量为x(1)，则有

x(1)=x(0)+Δx

参量修正后使目标函数ε(x)为最小值，即

电法勘探

此时拟合程度最佳。这就是最小二乘法意义下的最优化方法，即最小二乘法。最小二乘法实际上是一种反问题的长度解法，由于其简单易行，在电法资料解释中得到广泛应用。

如何求取修正参量Δx很重要。求取方法有多种，但不管那种算法都是通过不同途径修正Δx大小和方向，以达到拟合最佳的目的。

(2)二维断面反演的阻尼最小二乘法

设在被研究的地电断面Ω域上，待求的地电模型参数为M个(即M个待求的电阻率ρ1，ρ2，…，ρM)。通常，我们是将Ω域按一定法则剖分，例如，可按照图1410进行剖分(变网格)，每个网格单元对应一个电阻率。这些单元中的模型参量，可用向量ρ=(ρ1，ρ2，…，ρM)表示。实测视电阻率拟断面上，取N个视电阻率采样值(即 ，i=1，2，…，N)。

图1410 二维断面反演网格剖分示意图

二维拟断面反演是不断修改地电模型的电阻率参数，使理论模型拟断面向实测拟断面逼近。在理论计算值( ，i=1，2，…，N)向实测视电阻率 逼近过程中，通过不断改变电阻率值ρ，使理论计算的 与实测视电阻率 之间的误差尽可能小(一般＜5%)，以此作为衡量实测视电阻率 和理论计算 间拟合程度。通常采用对数型拟合方差F作为拟合视电阻率的目标函数(注意，以下的对数运算均系对电阻率的数值{ρi}Ω·m进行)，但简化记为

电法勘探

式(146)中 是根据初始模型参数正演计算的结果，它是地电断面参数ρ和电极距的函数，即 = (ρ，di)(di为与电极距有关的量)。目标函数F反映了实测拟断面数据与理论拟断面数据间的拟合程度，是模型参数的函数。二维视电阻率拟断面反演的目的就是要找到一组模型参数ρ=(ρ1，ρ2，…，ρM)，使目标函数取得最小值，即

电法勘探

由于理论计算的 (ρ，di)是模型函数ρ的非线性函数，故式(147)被称为非线性最小二乘问题，求取模型参数ρ拟合过程相当于数学上求多元函数极小值问题。对于非线性函数F直接求出ρ是很困难的，为此需要对非线性函数进行线性化近似处理。对假定的地电断面，给出一组模型参数初值ρ0=

( ， ，…， )，将ln (ρ，di)在初值ρ0附近做泰勒级数展开，将二阶和二阶以上的偏导数项略去，展开式的结果如下

电法勘探

令

电法勘探

电法勘探

则式(148)可写为

电法勘探

将式(1411)代入式(146)，可得到目标函数F的近似表达式

电法勘探

将式(1412)右端记为 ，则非线性最小二乘问题式(147)即可转换为线性最小二乘问题

电法勘探

根据极值存在的必要条件，使F达到最小的Δρj(j=1，2，…，M)，应满足下列方程组

电法勘探

整理后得

电法勘探

将式(1415)写成矩阵形式

ATAΔρ=ATΔG (1416)

式(1416)即为目标函数(式(1413))的法方程。其中：N×M矩阵A称为雅可比矩阵，其元素由式(149)来确定；ΔG为列向量，其元素为

电法勘探

求解方程式(1416)，可得出模型参数的修正量Δρ，取ρ1=ρ0+Δρ作为新的模型近似值，若

F(ρ1)＜F(ρ0)

且F(ρ1)＜ε(ε为给定精度)，则ρ1作为二维地电断面的反演解释结果。若达不到精度，则以ρ1取代ρ0重复以上过程，直至求出符合精度要求的模型参数为止。

以上求解过程的特点是将非线性最小二乘问题(式(147))转化为求解一系列最小二乘问题——式(1413)，虽然每一步求得的Δρ只是 =min的极小元，还不能使F(ρ1+Δρ)达到极小，但只要模型参数初值ρ0选取得当，这种逐步线性化的过程是收敛的。

法方程组的系数矩阵ATA，一般病态十分严重，甚至奇异。为保证反演过程收敛，增强法方程线的数值稳定性，可采用改进的阻尼最小二乘法(马奎特法)

(ATA+λS)Δρ=ATΔG (1418)

式中：λ为阻尼因子；S为对角矩阵。

总结以上阻尼最小二乘法的反演思路我们可将其归纳为以下四个主要步骤：

1)给出初值；

2)计算理论拟断面(用25维数值模拟方法作正演计算)；

3)解法方程：(ATA+λS)Δρ=ATΔG；

4)让ρ1=ρ0+Δρ作为新模型参数，重新迭代反演。

可以看出，阻尼最小二乘法的主要计算工作量是解法方程，而要解法方程组，关键在于求出系数矩阵A(雅可比矩阵，Jacobian Matrix)，A中元素用式(149)来计算。可见雅可比矩阵的计算是反演成像计算中很重要的一步。

计算雅克比矩阵的方法有很多种。均匀介质模型是最为理想化的初始模型，利用这个理想化的模型，就可用解析的方法来计算偏导数值雅可比矩阵，这样就可以节约大量的机时，这里我们不再进行讨论。

1435 高密度电阻率法的应用

(1)野外工作技术

A测网布置

地球物理工作的测区一般是由地质任务确定的，总的原则与剖面法和测深法相同。对主要应用于工程及环境地质调查中的高密度电法而言，按工程地质任务所给出的测区往往是非常有限的，我们只能在需要解决工程问题的有限范围内布设测线、测网，可供选择的余地往往有限，这是一般工程物探经常遇到的情况。测网布设除了建立测区的坐标系统外，还包含了技术人员试图以多大的网度和怎样的工作模式去解决所遇到的工程地质问题。在这里，经验和技巧非常重要。特殊情况下，高密度电阻率法可布设不规则的测线和测网，尽可能在有限的测区内获得更多的测量数据。

B装置选择

通常使用的装置还如上述四种类型(温纳、偶极-偶极、三极和温纳-斯伦贝尔格热装置)。不同厂家的测量系统基本上以这几种装置为主，但也各有特点。有的高密度电阻率仪提供了十多种装置以供选择。不同装置可联合使用，也可根据需要单独使用某一种装置。在高密度电阻率法中，合理地选择工作装置或其组合装置，可以提高采集数据对目标体的敏感度，放大异常，从而提高分辨率。选择一个合适的工作装置应考虑以下方面因素：探测目标的特性、探测深度、有效探测范围、信号强度、装置对地下电阻率水平或垂向变化分辨能力、场地噪声本底水平以及仪器灵敏度等。

当一个排列布好后，应尽量多地采集几个装置数据，以供后续处理和解释之用；同时，在一个地区工作时，除特殊情况外，应尽可能保持装置类型的一致，这样做的目的也是为了剖面的连接和解释的方便。

C最小电极间距和排列长度的选择

最小电极间距和排列长度的选择取决于地质对象的大小和埋藏深度。要保证有足够的横向分辨率，探测目标体横向上至少要有2～3根电极通过。同时，由于高密度电阻率法实际上是一种二维测深剖面方法，所以在保证最大极距能够探测到主要地质对象的前提下，还要考虑围岩背景也能在二维断面图中得到充分的反映。如对小而深的探测目标体，要求较小的电极间距和较多的电极数。

对于长剖面，可以通过电极的移动来获得连续的断面数据。图1411是温纳-斯伦贝尔格热装置通过两次移动来获得18a剖面长度的例子。一般地，在剖面对接时要重叠3～4个点，重叠点的数据取两次测量的平均值。

图1411 温纳-斯伦贝谢装置移动测量示意图

(2)高密度电阻率法在工程与环境地质中的应用

近年来，高密度电阻率法在场地勘察、公路及铁路隧道勘查、坝基及桥墩选址、采空区和溶洞探测、地裂缝调查以及水库渗漏研究等领域得到广泛应用，取得了明显的地质效果和显著的经济效益。下面用几个高密度电阻率法的实际例子来说明该方法的应用效果。

A在煤气管道勘查中的应用

场地地形有较小起伏，测线左侧是水田，右侧是砂石路。煤气管道包裹石棉网并涂有沥青，为高阻反映。实测时，最小电极间隔Δx=03 m，电极数为N=30，nmax=9。图1412是经过地形改正后的ρs等值线断面图，图1413是经过地形改正后并进行比值计算得到的视参数Ts等值线断面图，两图的高值等值线圈位置与管道位置相符，但Ts等值线断面图比ρs等值线等面图异常明显，这一结果与探地雷达探测结果一致，并与开挖后实际情况相符。

图1412 煤气管道ρs等值线断面图

B在水库坝体探测中的应用

中坊水库位于江西省广昌县境内，该水库建于20世纪50年代初期，坝体主要用素填土筑成。1989年初发现左坝肩背水面漏水，漏水位置位于土坝体与左坝肩接触面不远。当时发现渗水时渗水量很小，看不到明水。后来渗水量越来越大，到1998年渗水量达2 3738 m3/d。如不采取措施，将影响坝体的安全。为了确定漏水通道及为续后灌浆加固处理提供资料，我们采用了高密度电阻率法和自然电场法进行了综合勘查。

图1413 煤气管道Ts等值线断面图

以坝体与左坝肩接触面为中心，沿着坝体走向布置了一条高密度电阻率法剖面。最小电极间隔Δx=1 m，电极总数Psum=60。设第一根电极处x=0，接触面位置在x=295 m处。图1414是经二维反演后得到的温纳a装置电阻率等值线断面图，图中清晰地反映了坝体与左坝肩接触面位置。

图1414 横穿坝体与左坝肩接触面高密度剖面电阻率等值线断面图

通过本次工作(综合高密度电法、自然电场法以及水文地质调查结果)，基本查清水库漏水地段及漏水通道位置。观察结果表明，土坝体是完整的，从土坝与山体的接触面(接触面向坝体一侧倾斜)起一直延伸到山体内的范围内是渗水区。山体为花岗斑岩、风化程度比较高，裂隙发育，土坝体与山体的接触面及山体是漏水的通道，为后续打钻灌浆加固处理提供了依据。

近年来，在重大场地的工程地质调查、坝基及桥墩选址、采空区及地裂缝探测等方面，高密度电阻率法均取得较好的地质效果，实例很多。

在场论中，场和场源具有唯一的对应关系，但在实际中，观测到的场只是整个场的一部分，再加上观测误差和随机干扰，使其对观测值的解释不可避免地出现多解性，即是说有多种可能的场源分布与观测场在一定的误差范围内对应。与观测场对应的场源，如果不是真正的场源，我们称它为等效源。

在一般的资料解释中，多解性带来解释的困难，这里利用多解性来对位场进行转换，以突出有用信息，增加解释手段，对复杂异常的解释尤其重要。

311 基本原理

与观测场对应的多个场源中，选择一组最简单的场源，例如按一定位置分布或不固定位置的点荷、线荷，对磁异常还有磁偶极子、偶极线等，用最优化方法确定它们的质量或磁量，使它们产生在观测面上的场值与实测场值相吻合，利用这组等效源就能很方便地作各种位场变换，即是说观测值的各种变换值可以等价地认为是等效源产生的各种变换值，例如曲化平，向上、向下延拓，异常不同分量之间的换算，求变换磁化方向的磁异常（包括化到磁极），以及垂向一次、二次导数等等，均可用等效源的正演计算来求得。

因此，可以归纳出等效源法的特点如下：

（1）把各种繁杂的位场转换，变成一个简单的正演计算，计算过程简单，便于统一处理。

（2）不丢掉边部测点，条件好的情况下，可适当外推。

（3）对地形起伏较大的观测面，作位场转换的效果仍较好。

（4）由于等效源产生的场仅在观测面内与真实场源产生的场在一定误差范围内吻合，因而用等效源进行位场的转换，特别是向下延拓时就必然只限于一定范围之内，而不是整个空间，这就是该法的局限。

从上可知，该法应该分成以下两步进行：

（1）选择等效源模型，并用最优化方法求取等效源的质量或磁荷量。

（2）用等效源来计算各种位场转换值。

312 等效源的求取

图31 等效源示意图

以二维剖面垂直磁异常转换为例，如图31所示，选择等效源模型为磁偶极子，磁化方向的倾角为A，那么第i个等效源产生在第k个观测点上的垂直磁场值为

（ΔZmk）i=mi｛［2（zi-zk）2-（xk-xi）2］sinA-3（zi-zk）（xk-xi）cosA｝/［（xk-xi）2+（zk-zi）2］5/2（311）

（ΔZmk）i表示第i个等效源产生在第k个观测点上的磁场垂直分量；（xi，zi）为等效源的坐标；（xk，zk）为观测点的坐标（i=1，2，…，n，k=1，2，…，m）；共有 n个等效源，m个观测点，通常m≥n；如果我们记mi的系数部分为cki，即

cki=｛［2（zi-zk）2-（xk-xi）2］sinA-3（zi-zk）（xk-xi）cosA｝/［（xk-xi）2+（zk-zi）2］5/2

则式（311）简记为

（ΔZmk）i=ckimi （312）

当取不同的等效源模型时，如取点磁荷，则式（312）的形式不变，仅是cki的表达式不同，点磁荷对cki的表达式变为

cki=（zi-zk）/［（xk-xi）2+（zk-zi）2］3/2

按照场的叠加原理，第k个观测点上的磁场垂直分量应为所有等效源产生在该点上的场值之累加求和，即为

地球物理数据处理教程

按等效源的定义，等效源产生在观测点上的场值应与观测值相同，实测值为 ，即已知测点有m个，可列出m个方程式如下

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上述方程组未知数为m1，m2，…，mn共n个，而方程式有m个，因m≥n，所以为一超定方程组，一般求其最小二乘意义下的近似解，即目标函数 φ 为极小的解 m1，m2，…，mn。

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从而归结为求解多元函数的极值问题，可用第二章所述的最优化方法求解。需要注意的是，当等效源位置固定时，Zmk为自变量m1，m2，…，mn的线性函数，可用直接解线性方程组的方法求解，但是我们发现，此线性方程组的系数矩阵CTC的条件不好，易于奇异，所以我们采用以下最优化方法解此方程：

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以往我们采用最速下降法和阻尼最小二乘法求取等效源。最速下降法的做法是，给定一个初值 ，迭代过程由下式给出

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式中 为 点处最速下降方向，即负梯度方向。

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α（l）为第l次迭代的最佳步长。

由于Zmk是 的线性函数，所以φ为标准的二次型函数，可以解析的求出最佳步长的表达式

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式中：fk=ZOK-Zmk

用阻尼最小二乘法求取等效源，只需将式（316）改为下列形式，求解下列方程即可：

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做法类同于第二章所述，设初值为 ， 为增量，求解式（319）得 ，用 + 作为新的初值，继续求解新的 ，迭代下去，直到满足精度要求为止。从式（312）可知，Zm为 的线性函数，因而C矩阵（即Zmk对 的一阶偏导数矩阵）为常数矩阵，所以CTC在整个迭代过程中是不变的，它的各元素仅与等效源的位置及磁化方向和测点的位置有关，而与变量 无关，这是一个突出优点，可以减少计算工作量。

根据试验发现，用最速下降法求取的等效源 各分量之间相差较小，且有一定的规律，而阻尼最小二乘法求取的等效源 各分量之间相差较大，因而用最速下降法求出的等效源作位场转换的效果通常较好，但计算比较费时间，而用阻尼最小二乘法求出的等效源作位场转换的效果，特别是向下解析延拓的效果较差，但计算较快，如图32所示，图中示出了对于山脊地形下有一水平圆柱体的理论异常，用等效源法进行向下解析延拓，从图中可见延拓到第二层的效果，即用两种不同的最优化方法求出等效源 ，用该 来进行向下延拓的效果，可见最速下降法在下延方面的效果优于阻尼最小二乘法，但时间却往往要超过十多倍。图中虚线表示阻尼最小二乘法的结果，点划线表示最速下降法结果，实线表示理论曲线。

根据计算发现，在地形起伏较大、向下延拓较深时，即使最速下降法也将引起较大的误差。其等效源位置的选择，较大地影响延拓效果，当等效源位置太浅时，易引起下延结果的振荡，而位置太深时，易引起求取等效源的系数矩阵奇异，下面简单给予说明。

为讨论方便，我们以点荷作等效源模型来讨论，这时式（312）中的cki应为

cki=（zi-zk）/［（xk-xi）2+（zk-zi）2］3/2

当等效源理论zi取得过大时，取极限情况有

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图32 两种最优化方法效果比较

图33 山脊地形磁异常下延效果图

1—理论值；2—奇异值分解法结果；3—马奎特法结果

可见，所有的cki都将趋于一个很小的数，从而使系数矩阵C很容易奇异，求出的解极不可靠。

为此，目前采用了公认的解病态方程组效果较好的奇异值分解法（附录B给出了该方法的基本原理）直接求解式（314），取得了很好的效果（图33所示）。于是，可将等效源的位置放置较深，以改善下延的效果。对于比较复杂的异常，如场值中包函有较多的高频成分的情况，还可采用双层排列等效源，一层分布较浅，另一层分布较深，如图33中的“·”所示。

山脊地形，如图33所示，坡角为26 °34′的山脊，最低层下面5个长度单位处，埋有一个截面为倾斜板的水平柱体，磁化倾角为45 °。排列了两层等效源，如图中“·”所示。同时用奇异值分解法和马奎特方法计算等效源参量求出最低层的延拓值，示于图上方。图中，实线为理论正演值，点划线为奇异值分解法的结果。尽管该模型的物体埋深较浅，效果仍较好，仅在两个山坡的中部地区，有一点小的波动。在下延较深的极值部分相差也甚小，最大相对误差δmax为78%，均方差σ为252nT，整个曲线基本上与理论值符合。而马奎特方法的效果却较差，如图中虚线所示，极值减小很多，最大相对误差δmax为236%，两个山坡中部地区有较大的波动，均方差σ为1105nT。

图34 大台阶地形磁异常下延效果图

1—理论值；2—马奎特法结果；3—奇异值分解法结果

又如大台阶地形，这种地形通常下延效果较差。如图34所示，地形为一个63°26′的大台阶，高差为60个长度单位，在台阶的底层下10个长度单位处，埋有一个截面为倾斜板的水平柱体，磁化倾角为45 °。在该物体的顶部和近底部排列两层等效源，如图34 中“·”所示。利用奇异值分解法直接求解方程组（314），得到等效源参量，再计算向下延拓值，将其与理论正演值对比，示于图的上方。图中实线为台阶最低层的正演理论值，点划线为奇异值分解法计算的下延值，二者几乎完全重合，即使是右边下延深度相当大的部位，也相差很小，最大相对误差Δmax为 91%，均方差 σ 为034nT，可见下延效果较好。

为了对比，用马奎特方法求解方程（319），得到该模型等效源参量计算的下延值，如图中虚线所示。显然在右边部分下延较深处，出现了较大的振荡现象，与理论正演值相差很大，最大相对误差Δmax为1333%，均方差 σ 为569nT。由此可见，奇异值分解法大大优于马奎特方法，而且计算时间二者几乎相同。

以上两例都表明，用奇异值分解法求等效源参量的分布，是比较有效的。这是因为等效源方程组是一个易于病态的方程组，用奇异值分解法求解病态方程能改善其结果的不稳定现象，从而改进了下延效果。试验结果还表明，适当加深等效源的位置，效果更好；采用双层等效源排列对高频成分引起的影响也有改善。

对于三维问题，等效源的分布在平面内，对不固定位置的等效源分布在某一空间范围内，基本原理和做法与二维类似，只是cki的表达式中加入了y方向的有关部分，例如取点荷为等效源模型时，有

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式中：（xk，yk，zk）为观测点坐标；（xi，yi，zi）为等效源的坐标（k=1，2，…，m；i=1，2，…，n）。

对三维问题主要困难是等效源较多，计算比较费时间，因而它的关键在于如何安排等效源的个数，以保证对整个位场的特征能较完整地反映出来。

313 利用等效源进行各种位场转换

如果已求得了等效源，将它当作等效的场源，那么对于观测值的各种位场转换值，在一定空间范围和一定误差范围内可以等价地认为与等效源所产生的相应场值相同，因而利用等效源作一系列的正演计算即可得到各种转换值，下面举几个例子来说明。

3131 向上、 向下解析延拓及曲化平

不管是解析延拓还是曲化平实质上都是求观测面以上或以下某一位置上的场值，当利用观测值求出等效源 以后，要求空间任意一点l（xL，zL）的场值，可以利用式（313）简单地求得

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式中：Zml表示等效源在l点产生的场值，即作为观测值在l点的延拓值，式中的cLi是将cki的表达式中（xk，zk）换成（xL，zL）即可。

3132 磁异常不同分量之间的换算

一般是指将所测到的磁场垂直分量换算成水平分量，只要利用观测到的垂直分量求得等效源 以后，同样利用式（313）可求得观测面上或空间其他位置上的水平分量，只需将式（313）中的cki的表达式换成相应的水平分量的表达式，若要求的不是观测面上的水平分量，而是空间其他位置上的水平分量，只需将cki中的（xk，zk）换成所要求的那些点的坐标（xL，zL）即可得到

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式中： 即为水平分量表达式，例如当等效源模型取为偶极子时，X分量Hx中的 为

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当等效源取为其他模型时， 换为相应的形式。

3133 求转换磁化方向后的场值

这时要求选用等效源模型体必须包括有磁化方向倾角，可选为偶极子、偶极线等，不能选用点荷、线荷。可计算转换磁化方向后原测点的场值，也可计算任意点上的转换磁化方向后的场值，因此我们设所要计算场值的点坐标为l（xL，zL），设A为磁偶极子磁化方向的倾角（A可取为实测地区的实际磁化方向的估计值），设转换磁化方向的磁倾角为A0，那么转换磁化方向为A0后的l点上的场值应为：

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式中： =micos（A-A0）

cLi即为原来cki的表达式，将其中（xk，zk）换为（xL，zL）；A角换为A0角。

若需要化磁极，取A0=90°即可，若需要化到磁性层的顺层方向，可取A0为磁性层的倾角。

3134 求观测值的垂向一次、 二次导数

这时仍用式（313），只需将系数cki的表达式换成等效源模型公式对z求一次、二次垂向导数公式即可，例如等效源为偶极子时，其一次垂向导数的cLi为

（cLi）z′=｛［6（zi-zL）3-9（zi-zL）·（xL-xi）2］sinA+［3（xL-xi）3-12（xL-xi）（zi-zL）2］cosA｝/［（xL-xi）2+（zi-zL）2］7/2（3115）

其二次垂向导数的系数cLi为

（cLi）z″=｛［9（zL-zi）4-72（zi-zL）·（xL-xi）2+24（zi-zL）4］sinA+［24（xL-xi）3（zi-zL）+21·（xL-xi）2（zi-zL）-60（xL-xi）·（zi-zL）3］cosA｝/［（xL-xi）2+（zi-zL）2］9/2（3116）

除了以上列出的转换以外，还可以作一些其他转换。从上可知，所有的转换都变得十分简单，都可归纳为用式（313）作正演计算。

314 等效源法的其他应用

从上可知，等效源法不仅可用于位场转换，也可用于正演、反演等。这里介绍几个理论模型的应用实例。

3141 复杂情况下的化极效果

在小比例尺大范围的化磁极资料处理中，会遇到如下的情况，即在一个大范围内，不同位置的地质体的磁化方向不同。这种情况对于常用的化磁极的方法（包括频率域的化极方法）来说是难以实现的。考虑到等效源法各自等效源之间具有一定的独立性，模拟变磁化方向比较容易，于是用等效源理论模型进行了变磁化方向的化极计算，并取得了满意的结果。

图35示出了变磁化方向化极的效果。图35（a）中为三个不同磁化方向的板状体（磁倾角分别为30 °、45 °、60 °）所产生的磁异常。这里排列了两层等效源，如图中“·”所示，让它们的磁倾角在三个板状体附近接近于真实倾角，通过拟合Δz曲线所得的等效源再进行化极计算得到如图35（b）所示的虚线。图中实线为这三个板状体垂直磁化理论曲线。两者对比可见，除极值部分有较小差异外，曲线基本吻合，最大相对误差为42%，均方差为332nT。

图35（a）不同磁化方向的板状体所产生的磁异常

图35（b）用等效源法化极计算曲线与垂直磁化理论曲线对比

1—图（a）中三个板状体垂直磁化理论曲线；2—用等效源法化极计算所得的Δz曲线

又选用了一个极端的情况，即当磁化倾角为零的化极模型。一般说来这种情况采用常用的化极方法效果最差，而用等效源法也取得了较为满意的结果。

图36（a）为一个零磁化倾角的板状体的正演Δz曲线。等效源分布为两层排列，一层分布在物体顶部深度内，另一层分布在近底部的深度上，如图中“·”所示。通过拟合Δz曲线所得的等效源再进行化磁极计算所得的结果如图36（b）中虚线。图中实线为理论正演垂直磁化曲线。两者几乎没有明显的差异，其均方差为006nT。

图36（a）零磁化倾角时板状模型正演曲线

图36（b）用等效源法化极计算与垂直磁化时曲线对比

1—垂直磁化时（a）图模型理论正演曲线；2—用等效源法化极计算所得的曲线

从上述结果可见，用等效源法进行化极计算的效果较好，它不受磁倾角大小和变磁化倾角的影响，这对于实际区域物探资料的化极处理，将是很方便的。

3142 等效源反演效果

如前所述，既然等效源与真正场源在观测面内的场值相同，那么是否可以利用等效源来大概地圈定出真正场源的范围呢？

图37为用等效源的参量分布特征大致圈定场源范围的示意图。真正场源为一个二维倾斜板。在所研究的剖面范围内，设计一些均匀分布的等效源，拟合观测面内场值Δz，从而求得等效源的参量m，如图中的数值所示。可以看出，数值较大的参量集中在倾斜板的内部，在板的上顶面具有明显的数值突变现象，板的外部数值极小，而进入板内数值急剧增大，在板的左右边界虽不如上顶面那样明显地突变，但也是向着板的中部，数值逐渐变大。据此，大致可以圈出一个范围来，这个范围由下向上越来越清楚。下界面不如上界面明显，这是由于下界面的变化对场值的影响不如上顶面敏感。

图37Δz等效源反演参量分布与场源对比图

图38Δg等效源反演参量分布与场源对比图

图39 某矿区剖面用等效源反演效果图

1—实测值；2—等效源拟合曲线；3—地形；4—钻孔见矿位置

除了计算磁异常Δz以外，还可以计算重力异常Δg，图38示出了一个Δg的例子，真实场源为一个正方形水平柱体。在研究的范围内，设计了均匀分布的一些等效源，利用拟合观测面内Δg值的办法，求得等效源的参量 ，如图中数值所示。可以看出，上顶面同样具有非常明显的突变，左右边界也具有较清楚的突变，仅仅是下底面不太明显，但仍然可以看出一些界面的迹象。在正方形内部具有参量的极大值，利用参量突变，基本上可以划出物体的边界。

对于一些复杂的不规则形体或复杂的地质条件，也可以考虑用等效源法圈定其边界。

图39是用等效源法进行某矿区磁测资料反演的结果，可见强值区域反映了矿体（强磁性体）的部位。

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