请问怎么用matlab编程，使用牛顿迭代法求根号5的立方的近似值

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创建一个函数

%牛顿法求立方根

function

x=cube_newton(a)

f=@(x)x^3-a;

df=diff(sym('x^3-a'));

if

a==0;

x1=a;

else

x0=a;

x1=x0-f(x0)/subs(df,x0);

while

abs(x1-x0)>1e-6

x0=x1;

x1=x0-f(x0)/subs(df,x0);

end

end

x=x1;

2

调用求解

>>

a=cube_newton(5)

a

=

17100

>>

%% set para 

d=6;

tol=1e-5;

maxIter=100;

r=-2:001:2;        %实部虚部的范围

[x y]=meshgrid(r);  %产生实部虚部二维网格

Z=x+1iy;           %Z对应网格的虚平面

%% Define fuction

f=@(x,d) (x^d)-1;

fprime=@(x,d) d(x^(d-1));

%% Perform Newton iterations

for k=1:maxIter;

     Z=Z-(f(Z,d)/fprime(Z,d));

end

%% Find d roots of unity, and the  mask

renderMat=0;

for j=1:d  

        root=exp(2pi1i/d)^j;     % the jth root

        Mj=abs(Z-root);  %  distance  Z中每点都这个根的距离

        % Each root gets a unique number in [1,d]

        mask=(Mj<=tol)j;  %Mj<=tol返回满足误差的逻辑矩阵

        %满足误差部分为1j，不满足部分为0

        renderMat=renderMat+mask;

        %加起来之后renderMat中收敛于第j个根的区域数据都是j

        %那么收敛于第j个根的区域都是同一种颜色

end

colormap(hsv(d+1));     % Set the color map

imagesc(r,r,renderMat) % Render the fractal

xlabel('Re(Z)');ylabel('Im(Z)');

h=colorbar;

set(h,'ytick',(2(0:d)+1)d/(d+1)/2);

str=arrayfun(@(x)num2str(x,'%2f'),exp(2pi1i/d)^(1:d),'uniformoutput',false);

set(h,'yticklabel',[{'未收敛'},str]);

在Matlab命令行下输入：

edit

Gauss_seidelm

然后将下面输入，并保存

function

x=Gauss_Seidel(A,b,x0,tol)

if

(nargin==2)

x0=ones(size(b));

tol=1e-6;

elseif

(nargin==3)

tol=1e-6;

else

sprintf('USAGE:Gauss_Seidel(A,b,x0,tol)')

end

D=diag(diag(A));

U=triu(A,1);

L=tril(A,-1);

G=-(D+L)\U;

d1=(D+L)\b;

x=Gx0+d1;

n=1;

while

norm(x-x0)>=tol

x0=x;

x=Gx0+d1;

n=n+1;

end

n

到Matlab主窗口，输入：

A=[10,-1,2,0;-1,11,-1,3;2,-1,10,-1;0,3,-1,8];

b=[6;25;-11;15];

x=gauss_seidel(A,b)

就可以得到结果。

x

=

10000

20000

-10000

10000

迭代8次。

拉格朗日function y=lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=00;

for k=1:n

p=10;

for j=1:n

if j~=k

p=p(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=py0(k)+s;

end

y(i)=s;

end SOR迭代法的Matlab程序

function [x]=SOR_iterative(A,b)

% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵

x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值

tol=10^(-2); % 给定误差界

N=1000; % 给定最大迭代次数

[n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶

w=1; % 给定松弛因子

k=1;

% 迭代过程

while k<=N

x(1)=(b(1)-A(1,2:n)x0(2:n)')/A(1,1);

for i=2:n

x(i)=(1-w)x0(i)+w(b(i)-A(i,1:i-1)x(1:i-1)'-A(i,i+1:n)x0(i+1:n)')/A(i,i);

end

if max(abs(x-x0))<=tol

fid = fopen('SOR_iter_resulttxt', 'wt');

fprintf(fid,'\n用SOR迭代求解线性方程组的输出结果\n\n');

fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);

fprintf(fid,'x的值\n\n');

fprintf(fid, '%128f \n', x);

break;

end

k=k+1;

x0=x;

end

if k==N+1

fid = fopen('SOR_iter_resulttxt', 'wt');

fprintf(fid,'\n用SOR迭代求解线性方程组的输出结果\n\n');

fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);

fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');

fclose(fid);

end Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。

(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，极限为Yn'）

Yn+1=Yn+hf(Xn,Yn)

另外根据微分中值定理，存在0<t<1,使得

Yn+1=Yn+hf(Xn+th,Y(Xn+th))

这里K＝f(Xn+th,Y(Xn+th))称为平均斜率，龙格库塔方法就是求得K的一种算法。

利用这样的原理，经过复杂的数学推导（过于繁琐省略），可以得出截断误差为O(h^5)的四阶龙格库塔公式：

K1＝f(Xn,Yn);

K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)K1);

K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)K2);

K4=f(Xn+h,Yn+hK3);

Yn+1=Yn+h(K1+2K2+2K3+K4)(1/6);

所以，为了更好更准确地把握时间关系，应自己在理解龙格库塔原理的基础上，编写定步长的龙格库塔函数，经过学习其原理，已经完成了一维的龙格库塔函数。

仔细思考之后，发现其实如果是需要解多个微分方程组，可以想象成多个微分方程并行进行求解，时间，步长都是共同的，首先把预定的初始值给每个微分方程的第一步，然后每走一步，对多个微分方程共同求解。想通之后发现，整个过程其实很直观，只是不停的逼近计算罢了。编写的定步长的龙格库塔计算函数：

function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点（参数形式参考了ode45函数）

n=floor((b-a)/h);%求步数

x(1)=a;%时间起点

y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数

for ii=1:n

x(ii+1)=x(ii)+h;

k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));

k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+hk1/2);

k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+hk2/2);

k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+hk3);

y(:,ii+1)=y(:,ii)+h(k1+2k2+2k3+k4)/6;

%按照龙格库塔方法进行数值求解

end

调用的子函数以及其调用语句：

function dy=test_fun(x,y)

dy = zeros(3,1);%初始化列向量

dy(1) = y(2) y(3);

dy(2) = -y(1) + y(3);

dy(3) = -051 y(1) y(2);

对该微分方程组用ode45和自编的龙格库塔函数进行比较，调用如下：

[T,F] = ode45(@test_fun,[0 15],[1 1 3]);

subplot(121)

plot(T,F)%Matlab自带的ode45函数效果

title('ode45函数效果')

[T1,F1]=runge_kutta1(@test_fun,[1 1 3],025,0,15);%测试时改变test_fun的函数维数，别忘记改变初始值的维数

subplot(122)

plot(T1,F1)%自编的龙格库塔函数效果

title('自编的 龙格库塔函数')

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