飞矢不动

飞矢不动 怎样解释“飞矢不动”？

飞矢不动（Arrow paradox），它是一个关于运动的不可分性的哲学悖论。

很久以前的古希腊学者就开始思考“运动与静止”的深奥本质。

人类自从有了数学家和哲学家，就一直在思考时间和运动的属性，并为此伤透了脑筋。

其中，有一个早期的数学家和哲学家的团体爱利亚学派（Eleatic School）对我们生活中赋予的时间流逝的种种性质（运动与变化）嗤之以鼻，并认为这些都是幻觉。

他们中的成员之一芝诺（Zeno，前490～前430），就是著名飞矢不动悖论的构造者，他的目的是揭示人们对变化的认识太奇特。

他的“静止的存在才是唯一的”有趣谬论，虽是令人抓狂的悖论，却打开了认识新世界的大门。

一、飞行中的箭是静止的？飞矢不动，在帮助人们思考时间与运动本质方面的成果十分丰硕。

我们可以想象有两支箭，一支刚离开弓弦飞出，另一支箭悬于空中不动（停止在那里）。

现在我们看看第一支箭正好飞到第二支箭上方的那一瞬情形。

这事实上是我们想象一张实时的快照，对那个尚未发明照相技术的时代来说，这个概念真实太领先了。

在那一瞬，我们会看到两支箭停于空中的景象，一上一下，两者都被定格没有运动。

问题在于，现在我们往前挪动至下一个瞬间，当一支箭停在原处不动时，另一支箭是如何知道自己要动呢？尽管两者完全不同，但我们在时间凝固的那一瞬，看不出两者的区别。

如果把飞行的这段时间分成无穷多个瞬间，我们发现这支箭在每一个瞬间都有一个固定的位置。

假设用摄像机拍下这段视频，我们发现这段视频可以分成无数画面，而每一帧（即每一瞬），这支箭都是静止不动的。

于是芝诺提出：既然箭在这个飞行过程中的每个瞬间都没有动，且都有一个暂时的位置，那么整段时间中它在每一个暂时的位置上和不动没有什么区别。

这支箭也就没有动。

二、箭在瞬间果真没有运动？飞矢不动悖论有不同的表达方式，那么芝诺最初的思想是什么呢？他以后的哲学家辛普里丘（Simplicius）对此的观点表述得更清楚些：如果箭在整个飞行的时间中都在运动，那么在其中的每个瞬间它也是运动的；在每个瞬间，箭占据的空间等于它自身的大小；如果箭在一瞬间占据的空间大小和它自身相等，那么在一瞬间它不处于运动状态；所以，从3和2得出，箭在整段时间的任意瞬间都不是在运动；所以，从4和1得出:箭在整个飞行时间中都没有运动。

这里的一切都依赖于“瞬间”的意思。

芝诺表示，时间是由瞬间组成的，因为瞬间不可分，瞬间里才没有运动。

但是，假如时间是连续的，瞬间就不再具有上述悖论的成立所需要的独立存在性。

因此，对飞矢不动悖论的解释是：箭在每个瞬间都不动这一事实不能说明它是静止的。

运动与瞬间中发生什么无关系，而是与相邻瞬间之间发生什么有关。

如一个物体在任何相邻瞬间在相同的位置，那么它就是静止的；反之它就是运动的。

时间在瞬间与瞬间之间是光滑连续的，这也是牛顿微积分所体现的思想和概念。

现代物理学认为，区别看似不动的两支箭在瞬间哪一支才是运动的。

其本质是，具有动量或动能的在运动，动量或动能为零的就是不动的。

爱因斯坦的狭义相对论还认为，两者观察地面上时钟的方式也是不同的。

三、辩证与思考自从芝诺悖论被提出，针对其观点的争议一直不断，根本原因是关于时间、运动和空间变化的属性没有共识，而且有关运动的观念存在两种错误的倾向：相对主义诡辩论：夸大绝对运动而否定相对静止，如人连一次也不能踏入同一条河流。

形而上学不变论：夸大相对静止而否定绝对运动，如飞矢不动。

运动是绝对无条件的，而静止是相对有条件的、是特殊的运动。

在群星璀璨的古希腊先哲中，芝诺无论如何都算不上耀眼的角色，但他的众多悖论却困扰了人们长达2000多年。

尽管人人皆知芝诺的命题是错误的，但由于它的推理过程不仅严谨，而且合乎逻辑，以至长期以来竟没有人真正讲清它们到底错在哪里。

柏拉图（Plato）曾嘲笑芝诺只会耍一些小聪明，现在看来，恰恰相反，这些悖论是不折不扣的大智慧。

飞矢不动犯了什么错误飞矢不动如何用数学、物理解释？

（应邀回答）（小石头不懂物理，所以仅站在数学的角度回答这个问题！）建立数学模型如上图，飞矢看做一个质点 A，设定 A 在 时刻 0 从X 轴 原点 0 离弦出发 ，沿着 X 轴 正方向 直线运动，最终 在时刻 1 射中位于 X 轴 单位点 1 处的靶心，我们忽略重力只考虑空气阻力，因此 A 在空间 I = [0, 1] 和 时间 T = [0, 1] 内进行了 非匀速直线运动。

设，函数 x: T → I 为 A 的运动轨迹方程，于是，对于任意给定 时刻 t ∈ T，可得到 A 所处的位置点 x(t) ∈ I。

又令， 函数： μ(a, b) = |a - b| 用于测量 任意两个空间（或 时间）点 a, b 之间的距离（或 时间间隔）。

任意选取 T 中两个时刻 t, t₁ ( t ≤ t₁)，则定义 A 在 时间区间 [t, t₁] (或 空间区间 [x(t), x(t₁)] 内的 平均速度 为：V = μ(x(t), x(t₁)) / μ(t, t₁)当 t₁ 无限趋近于 t 时，平均速度 V 的极限：v = lim_{t₁ → t } V就是 A 在 t 时刻（或 x(t) 处) 的 瞬时速度，记为 v = x'(t) = dx/dt。

飞矢不动悖论虽然，我们从以上数学模型中，得到了 A 在 t 时刻 上 的瞬时速度 v 肯能不为 0，但是由于 t 时刻 上时间间隔为：μ(t, t) = | t - t | = 0因此，A 在 t 时刻 上 运动的距离 s = v μ(t, t) = 0，即， A 没有移动。

这也符合 空间 点 x(t) 的大小为 0 的数学定义，即，μ(x(t), x(t)) = 0。

于是，问题就来的：既然，A 在 T 中每个时刻 t 的都没有移动，那么 A 是如何 在 整个 μ(T) = μ(0, 1) = 1 时刻内，产生 μ(I) = μ(0, 1) = 1 的移动呢？换句话说就是：既然 A 在 T 中每个时刻 t 的移动的 0，那么 这些 0 合起来 应该也是 0，但是 为什么 是 1 呢？这就是 “飞矢不动”悖论。

飞矢不动的秘密我们之所以认为飞矢不动有悖论，是因为我们的如下直觉：0 + 0 + ... = 0 ①这称为 可列可加性。

具体来说就是：可列个 0 加起来仍然为 0但是，我们需要注意的是，这种直觉 的适用范围：相加的 0 的个数 必须 可列。

所谓可列就是： 可以 排成一条队列，允许这条队列是无穷无尽的，就像 ① 等式左边那样。

如果，可以将 I 中的每个点 排成一列：x₁, x₂, x₃ ...则有（规定 μ([x, y]) = μ(x, y)，为了方便令 [x] = [x, x]）：1 = μ(I) = μ([x₁] + [x₂] + [x₃] + ...) = μ([x₁]) + μ([x₂]) + μ([x₃]) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0 矛盾，悖论成立。

但是实际上是，I 中的点 不能 排成一 列，因为， A 在飞行过程中 形成的 路线 I 是连续的，连续是比 可列 更 紧密的 一种状态。

连续就意味着我们不能在其中找到漏洞，从而无法再插入一个新的点，而 队列则可以在任意两个点之间 插队。

排成一列就意味着 可以 从头 一个一个的 数出来，因此，我们也称 可列 为 可数，同时，我们称 连续 为 不可数，于是我们说：只有 可数个 0 相加 才是 0，不可数 个 0 相加 不一定 是 0；我们的最终结论：由于 A 的行动路径 I 中包含的点 不可数，所以，虽然 A 在 每个点 的移动距离 为 0，但是 这些 0 加起来 可以不为 0（事实上 等于 1）。

飞矢不动 是 合理的，悖论不成立。

这就是 飞矢不动 的秘密。

古代哲学家想出来的 有些 哲学悖论，在经过严谨的数学研究和论证后，都被证明是伪悖论，除了 这里的 飞矢不动 还有 阿基里斯追龟。

（小石头，数学水平有限，这里献丑了，欢迎各位条友点评。

）

飞矢不动如何用数学、物理解释。

飞矢不动是指飞矢在某一时刻不动，而它又怎么移动的？这个问题，在非标准分析建立之前是解释不了的，但可以用非标准分析来解释。

如果时间指向某一时刻，没有时间的流逝，也就是说没有时间间隔，那飞矢当然是不动的；如果有时间流逝，但时间流逝的间隔小于任何给定的间隔，在非标准分析里是实实在在存在量—无穷小量ε=1/ω。

这样飞矢移动的量在总的时间间隔为t的时间内，总的位移s=（v/ω）（tω）=vt。

在数学分析里，没有明确无穷小的存在，就是说在实数范围之内，没有确切的无穷小量，只有极限等于零的变化量，所以不能解释飞矢的问题。

而在非标准分析里，无穷小量是确确实实存在的，所以能把无穷小量单独拿出来解释飞矢的问题。