芝诺悖论错在哪里

芝诺是古希腊数学家，提出了一系列悖论以反驳时间和空间的连续性和变化问题，比较有名的有追乌龟和飞矢不动两个。

古希腊传说中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。

在阿基里斯出生后，忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀q不入，惟有脚踝被忒提斯手握着，没有浸到冥河水，是他唯一的弱点。

在特洛伊战争中被敌人射中脚踝而死。

有一天，阿基里斯遇到了一只乌龟。

乌龟对阿基里斯说：别看你跑得快，你永远也追不上我。

阿基里斯问为什么呢？乌龟说，你看：如果阿基里斯在A处，乌龟在B处，同时出发。

阿基里斯要追上乌龟，首先要追上乌龟先跑的一段AB，但是在这段时间乌龟也在向前跑，当阿基里斯到达B处时，乌龟已经跑到了C处，还没有追上。

虽然此时BC的距离小于AB的距离。

阿基里斯会继续跑BC这一段，但是这段时间乌龟也没闲着，跑到了D处，虽然CD小于BC，但是阿基里斯还是没有追上乌龟。

以此类推，阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小，但是永远都不会变为零。

综上所述，阿基里斯永远追不上乌龟。

这个悖论的诡辩之处在于：芝诺将一个追及过程分割成无限多份，但是这无限多份的时间和距离之和是有限长。

为了解释这个问题，我们把追及过程画在一个数轴上，并且假设AB之间距离为L，方便起见，设阿基里斯的速度等于两倍乌龟速度。

这样一来，相同时间内阿基里斯运动的距离就是乌龟的两倍。

所以阿基里斯走过AB时，乌龟走过的BC段距离为L/2，阿基里斯走过BC时，乌龟走过的CD段长度为L/4...如果阿基里斯要追上乌龟，需要追及无线多段，将这无限多段加和我们会发现，随着段数的增加，这个距离约来越接近2L。

如果只有两项，那么与2L相差L/2；如果有3项，与2L相差L/4，如果有4项，与2L相差L/8...如果有无穷多项，阿基里斯走过的总距离就等于2L。

同样的，设阿基里斯走过AB段的时间为t，则总时间T等于芝诺把一段有限的时间和距离分割成了无限多份，是不能得出追不上的结论的。

实际上芝诺的这种做法类似于微积分，将一个过程无限分割，再进行累加，这恰好是微积分的基本思想。

分割无限多份后越往后的小段时间和空间越小，称之为无穷小。

牛顿和莱布尼茨提出微积分后，人们发现了微积分的重要应用，解决了许多数学和物理的问题。

几乎所有人都知道龟兔赛跑的故事因为兔子太过于轻视乌龟最终居然输给了乌龟这是公元前六世纪《伊索寓言》里的故事可是在《伊索寓言》诞生的一百多年后又有一只乌龟横空出世这次它比赛的对象不是兔子了而是古希腊神话中最善长跑步的英雄阿喀琉斯可是最后又是乌龟赢了这只乌龟不仅跑赢了比赛还一度成为了科学界中的神兽那到底是怎么一回事呢？要知道这件离奇的事我们就不得不先从这只乌龟的主人芝诺开始讲起……公元前488年芝诺出生于意大利半岛南部的埃利亚是古希腊著名的数学、哲学家甚至还被封为辩证法的创始人但是真正使他留名于世的是他的悖论们据说他一生推出了80多个悖论其中有4个悖论非常著名而其中一个就是关于那只神龟的。

故事是这样的：公元前464年号称世界上跑得最快的阿喀琉斯和一只乌龟进行了一场赛跑阿喀琉斯是《荷马史诗》中的海神之子然而乌龟只是一只平凡的乌龟不仅短小还有结实笨重的龟甲于是乌龟以身体劣势为由申请提前奔跑100米当乌龟跑出100米的时候阿喀琉斯便开始奋力追击了阿克琉斯的速度是乌龟的十倍当阿喀琉斯追到100米时乌龟已经又向前爬了10米于是一个新的起点产生了阿喀琉斯必须继续追而当他追到乌龟爬的这10米时乌龟又已经向前爬了1米阿喀琉斯只能再追向那个1米就这样乌龟会制造出无穷个起点它总能在起点与自己之间制造出一个距离不管这个距离有多小但只要乌龟不停地奋力向前爬芝诺说阿喀琉斯就永远也追不上乌龟这个悖论让我想到了我们中国古代有一位圣贤庄子也说过这么一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其实两者的意思是一样一样的。

OK不管这个看似在现实世界中芝诺的乌龟是多么的蛮不讲理即使随便建立一个简单的方程组t=s/(v1-v2)就能求出阿喀琉斯追上芝诺之龟的时间甚至用数学巨匠莱布尼茨与科学巨匠牛顿隔空修炼的“微积分”其中的“极限”法门也能轻易踩扁这只乌龟但问题是我们在这里有一个假定那就是假定阿喀琉斯最终是追上了乌龟才求出的那个时间但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？被我这么一问是不是又被我搞糊涂了？其实答案很简单以现代物理学的角度来看芝诺的乌龟也是不成立的他把时间和空间看成无限可分的状态可是空间与时间是不能无限细分的啊！我们都知道普朗克长度也就是物理学上有意义的可测量的最小长度一般认为达到了这个普朗克长度之后任何长度也就没有任何意义了所以当乌龟和阿喀琉斯之间的距离达到一个普朗克长度距离的时候或者时间达到一个普朗克时间的时候是无法再继续分割的这个时候你“看”到的运动就是阿喀琉斯直接“跨过”一个普朗克长度时间也正好过去了一个普朗克时间大小的时间并且顺利追上了乌龟其实芝诺又何尝不知道现实中阿喀琉斯肯定会追过乌龟只是这个悖论是源于数学大师间的一个小玩笑巴门尼德是芝诺的老师在探讨0.999……与1的大小问题上巴门尼德一直坚持"1-0.999……=0，或1-0.999……>0"的思想而当时“数学派”的典型代表毕达哥拉斯则坚持认为" 1-0.999……>0"芝诺编出这个悖论其实是想给两位大师的反戈一击因为芝诺一直坚持认为"1-0.999……=0，而非大于0"就因为这个小小的争论以至于在之后的两千年时间里人类对这只千年老乌龟依然耿耿于怀不管从哲学到前沿物理学人们还常常拿它吵架不过这么说起来0.999999...还真的是等于1啊你们不信？ 好的双11快来了为了让大家能在双11好好过节算清楚自己的预算和支出我也是拼了命了就来给大家好好证明一下为什么0.999999...=1大家看好了啊！大家都知道1/3=0.333333...等式两边都同时乘以3 1/3×3=0.333333...×3我们会发现1=0.999999...没错吧！如果这样还不能睡服你那么我们把0.999999...乘以10也就是把小数点向右移一位10×0.999999...=9.99999...再把讨厌的小数从两边减去10×0.999999...-1×0.99999...=9.99999...-1×0.99999...等式的左边利用加法结合律就是9×0.99999...等式右边就剩下9因此，如下9×0.99999...=9我们都知道如果一个数的9倍等于9那么这个数就只能是1这不就是我们要的结果？神奇吧？虽然芝诺悖论已经被物理学给解开不过芝诺倒是说过一句至理名言人的知识就好比一个圆圈圈内是你已知的知识圈外是你未知的知识当你的知道的越多时圆圈也就越大相对的你不知道的东西也就越多神逻辑啊但是不得不说这个说法太正确了更多关注微信公众号：科学有趣味