关于解析函数边界性质介绍

[拼音]：jiexi hanshu bianjie xingzhi

[外文]：boundary property of analytic function

以复变函数论为基础结合实变函数论研究解析函数的边界性质，与调和函数的边界性质有紧密的联系，主要研究单位圆内和一般区域内种种解析函数族的边界性质。

设函数ƒ(z)在单位圆｜z｜< 1内解析，记

如果0<p ≤∞，Mp(r，ƒ)对一切0≤r<1有界，称ƒ(z)属于哈代函数族Hp；如果

对一切0≤r<1有界，称ƒ(z)属于奈望林纳函数族N，这里，若α≥1，log+α=logα；若α<1，log+α=0。

设ƒ(z)是平面区域D内的解析函数，ζ是边界дD上的给定点，如果当z在D内以ζ为顶点的任何角形区域内趋于ζ时，ƒ(z)都趋向于一确定值，称ƒ(z)在边界点ζ处有非切向极限值，记为ƒ(ζ)。如果在 дD上除一测度为零的点集外，处处有非切向极限值，称ƒ(z)在дD上几乎处处有非切向边界值ƒ(ζ)。

边界性质与域内性质

一类问题是，利用解析函数的域内性质（比如函数模在区域内的增长性）研究其边界性质。P.J.L.法图(1906)和F.（F.）里斯(1923)分别对p=∞和0<p<∞证明：若ƒ(z)∈Hp，则ƒ(z)几乎处处有非切向边界值 ƒ(eiθ)，|ƒ(eiθ)|∈Lp[0，2π]，log|ƒ(eiθ)|∈l1[0，2π]除非ƒ(z)呏0，并且对[0，2π]上的任何正测度集E，

1922年R.奈望林纳证明：若ƒ(z)∈N且ƒ(z)扝0，则ƒ(z)几乎处处有非切向边界值ƒ(eiθ)，并且log|ƒ(eiθ)|∈l1[0，2π]。另一类问题是，利用解析函数的边界性质判断其域内性质。1917年И.И.普里瓦洛夫证明：设ƒ(z)在|z|<1内解析，ƒ(z)扝0，若在单位圆周的一个正测度集E上，其非切向边界值ƒ(eiθ)为零，则ƒ(z)呏0。又若ƒ(z)∈h1，则ƒ(z)在圆内的值可通过圆周的一个正测度集E上的边界值表示出来。这是Γ.М.戈卢津和Β.И.克雷洛夫1933年的结果。

积分表示问题

单位圆|z|<1内解析函数 ƒ(z)可表示成φ∈lp[0，2π](1≤p ≤∞)的泊松积分

的充分必要条件是：ƒ(z)∈Hp。

构造问题

里斯在1923年证明：若且ƒ(z)扝0，则ƒ(z)=B(z)F(z)，这里B(z)是ƒ(z)在|z|<1内所有零点{zn}所组成的W.J.E.布拉施克乘积，

F(z)∈Hp且F(z)≠0；若ƒ（z）∈N，则ƒ(z)=B(z)g(z)，g(z)∈N且g(z)≠0。1929年Β.И.斯米尔诺夫进一步证明，单位圆内解析函数ƒ(z)∈Hp(p>0)的充要条件是：ƒ(z)可以分解成

这里B(z)是ƒ的布拉施克乘积，S(z)是奇异内函数，F(z)是Hp的外函数，并且

式中m是非负整数，；μ(t)是非减的有界变差函数，其导函数几乎处处等于零；ψ（t）>0，ψ∈lp，Inψ(t)∈l1[0，2π]，у是一实数。特别当ƒ∈hp时，ψ(t)几乎处处等于。这种分解还是惟一的。又单位圆内解析函数ƒ(z)∈N的充要条件是ƒ(z)可分解成

，

这里B(z)是ƒ的布拉施克乘积，S1(z)和S2(z)分别是奇异内函数，F(z)是N的外函数，其中ψ(t)≥0，lnψ(t)∈l1[0，2π]。特别若ƒ∈N，则ψ(t)几乎处处等于。

一般区域的情形

设D是边界多于一点的单连区域，若在D内存在可求长的若尔当闭曲线C1，C2，…，{Cn}趋于边界дD，使得

，

则称ƒ∈Ep（D）。若边界是可求长的若尔当曲线C，则Ep(D)中每个函数ƒ(z)在C上几乎处处有边界值ƒ(ζ)，并且；如果边界值函数ƒ(ζ)在一正测度集上等于零，则ƒ(z)在D内必为零。若ƒ∈E1(D)，则对D内的z，；反之，若g在C上可积，并且，则，且在C上几乎处处以g(ζ)为边界值。

解析函数边界性质的理论是Hp 空间理论的基础和重要组成部分，对多复变数解析（全纯）函数边界性质的研究有深刻的影响，在奇异积分方程、解析函数的边值问题和d性力学及断裂力学中都有广泛应用。