高斯函数的性质

1x=[x]+{x}

2x-1<[x]≤x<[x]+1

3[n+x]=n+[x],n为整数

4f(x)=[x]是不减函数

f(x)={x}是周期函数，其周期为任意正整数，最小正周期是1

5[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1

6如果n正数，则[nx]n[x]

7如果n正数，则[x/n]=[[x]/n]

8厄尔米特恒等式：对任x大于0，恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+… …+[x+(n-1)/n]=[nx]。

高斯拉普拉斯算子（LOG，Laplacian of Gaussian）常用于边缘/角点检测。其原理是利用拉普拉斯算子识别图像中灰度值变化速度极大值点，利用高斯核平滑图像、以降低拉普拉斯算子对噪声敏感带来的问题。

所以，LOG是由高斯函数和拉普拉斯算子组成的。以下将介绍

1）高斯函数

2）拉普拉斯算子

3）二者结合的必要性

4）LOG的平替

高斯函数卷积核与图像进行卷积，目的是为了 平滑图像 ，这个卷积过程也常被成为高斯平滑。实质是 以高斯函数的积分值作为权重对卷积区域的点进行加权求和 ，卷积区域的中心点对应的权重对应高斯函数对称轴附件区域的积分值，权重最高。所以此平滑方法能够有效地刻画边缘效应。

高斯函数公式：

其中， 为标准差，其值越大，平滑程度越大 。可以根据高斯函数曲线去理解，标准差越大，曲线越矮胖，邻域像素值的权重也就越大。

如何确定高斯核的大小呢？研究表明，距离中心点 范围外的点一般作用很小，所以 高斯核尺寸通常为 。

拉普拉斯算子是对图像 求两个方向的二阶导数之和 ，其中 为图像像素的灰度值 。

求导，可以获得局部区域的灰度值变化幅度，从而检测出边缘/角点。至于为什么求二阶导而不是一阶导，是因为一阶导之后求的是极值，二阶导之后求的是零点，零点比极值更方便获得。

首先， 求导使计算对噪点变得很敏感 ，需要在求导之前先进行图像平滑。

其次，先对图像进行高斯卷积，再进行拉普拉斯算子卷积，两次卷积会产生较大计算量。而根据卷积运算的结合律，可以先计算高斯函数与拉普拉斯算子，形成一个卷积核，然后对图像进行一次卷积，大大 减小计算量 。

我们常用DOG（Difference of Gaussian）来近似LOG，这是将两个大小不同的高斯核与图像分别卷积后进行差分，可以产生一种LOG的平方近似。在 计算速度上有较大的提高 。

参考文献

https://zhuanlanzhihucom/p/92143464 

http://jgwutop/blogs/Laplacian-of-Gaussian-LOG-%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90/ 

I=imread('路径');%读入图像

figure；

imshow(I); title('原始图像') ;

h1=fspecial('gaussian',[3,3], 05);%用预定义的gaussian函数 ，窗口大小[3,3]

[m n p]=size(I);

%p=1,代表亮度分量,即灰度图像 %p=3，代表亮度分量(Y),色差分量(Cr,Cb)

if p==1%处理灰度图像

I=double(I);

I=conv2(I,h1,'same');%I与h1的二维离散卷积

end

if p==3%处理真彩色

I=double(I);

I(:,:,1)=conv2(I(:,:,1),h1,'same');

I(:,:,2)=conv2(I(:,:,2),h1,'same'); %计算两个矩阵的二维卷积

I(:,:,3)=conv2(I(:,:,3),h1,'same');

end

I=uint8(I);

%经过33，sigma=05二维高斯低通滤波器滤波后的图像

figure;

imshow(I);title('滤波器33,sigma=05')

显示平滑滤波的图像用高斯滤波器函数。

高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用，这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用。

平滑滤波的原理：

当滑动窗口内的真实数据变化不大的时候，我们可以抑制掉很大一部分噪声，滤波结果近似真实值；当滑动窗口内的真实值变化较大时，这种滤波方式就会损失一部分精确度，滤波结果接近真实值的平均期望。

高斯模糊是指以中心像素为原点，指定半径（NN矩形，N为奇数）内的所有像素，根据离中心像素的远近为每个位置分配不同的权重。最后不断将像素值与权重相乘 求和 平移（卷积），算出中心点的像素值。对每一个像素进行同样计算，最后就能得到一副高斯模糊过的图像了。

那么如何根据远近分配权重呢，高斯模糊使用的正态分布函数 即高斯函数。

横轴表示可能的取值x，竖轴表示概率分布密度F(x)，那么不难理解这样一个曲线与x轴围成的图形面积为1。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。正态分布的期望值μ决定了曲线的位置，标准差σ决定了分布的幅度。

根据一维高斯函数，可以得出二维高斯函数

。

因此假设在一个33的像素方块中，中心坐标为（0，0），代入到高斯函数中，中心点的权重最大，以中心点向外权重逐渐减小。

权重矩阵

假定中心点的坐标是（0,0），那么距离它最近的8个点的坐标如下：

假设标准差σ为15，以（0，0）为中心 μ自然为0，半径为1，则矩阵为（2 1+1，2 1+1）即33的大小。

代入公式可得到每个点的权重。

为了计算方便，权重和设为1。当前权重和为04787147，因此每个权重都要除于04787147，得到最终权重

有了权重矩阵，也叫卷积核，盖在上，进行卷积 *** 作。将每个点的像素值和矩阵内对应位置的权重相乘，再整体相加，即得到中心点新的像素值。然后往右平移，依次计算每个点的像素值。

高斯函数有两个特性：

1：一个高斯函数跟另外一个高斯函数的卷积仍然是一个高斯函数，AB=C C的标准差的平方是A和B的标准差的平方和，也就是说卷积后的高斯函数更宽，模糊的效果更明显（直观上看，连续做高斯模糊运算，图像会越来越模糊。）

2：高斯函数的傅立叶变换仍然是一个高斯函数，如果原来的高斯函数越宽（标准差越大），变换后的高斯函数就越窄（标准差越小），也就是说一个越宽的高斯函数，低通（高阻）滤波的效果越明显，处理后的图像的细节就越不清楚（更模糊）。

要对数字图像做高斯模糊，就是用一个符合高斯函数分布的卷积核对数字图像做卷积运算。

要确定的有标准差的大小，卷积核的大小，最后的比例系数的大小。

一个标准差为14的高斯5x5的卷积核：

2 4 5 4 2

4 9 12 9 4

5 12 15 12 5

4 9 12 9 4

2 4 5 4 2

最后乘以比例系数 1/115

举1个例子:

设x∈R ， 用 [x]表示不超过x 的最大整数则 y= [x] 称为高斯函数，也叫取整函数。

任意一个实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即：x= [x] + α（0<α<1） ，所以有：[x]<=x<[x]+1 ，这里[x] 是 x的整数部分，而= x- [x] 是x 的小数部分。