试述信号处理中的几大变换（傅立叶变换、拉普拉斯变换、z变换和希尔伯特变换）的关系及其应用

傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。

拉普拉斯变换

定义式：设有一时间函数f(t)

[0,∞]

或

0≤t≤∞单边函数

其中，S=σ+jω

是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；

右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal

left

=int_

^infty

f(t),e^

,dt

其中积分下标取0-而不是0或0+

，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

希尔伯特变换

一物理可实现系统其传递函数为一解析函数，而其冲激响应必为因果函数(即时，冲击响应为0)。也就是说时域的因果性与频域得解析性是等效的。

1、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。

2、离散傅里叶变换的变换对：对于N点序列，它的离散傅里叶变换（DFT）为其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号表示这一变换，即离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：可以记为：实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成。

Graph Convolutional Networks涉及到两个很重要的概念：graph和Convolution。传统的卷积方式在欧式数据空间中大展神威，但是在非欧式数据空间中却哑火，很重要的一个原因就是传统的卷积方式在非欧式的数据空间上无法保持“平移不变性”。为了能够将卷积推广到Graph等非欧式数据结构的拓扑图上，GCN横空出世。在深入理解GCN： 的来龙去脉之前，我觉着我们有必要提前对以下概念有点印象：

论文链接 Semi-supervised Classification with Graph Convolutional Networks

1拉普拉斯矩阵及其变体

给定一个节点数为 的简单图 ， 是 的度矩阵， 是 的邻接矩阵，则 的拉普拉斯矩阵可以表示为 中的各个元素表示如下：

1传统的傅里叶变换

当变换对象为离散变量时，求积分相当于求内积，即

这里的 就是传说中似乎有点神秘的拉普拉斯算子的特征函数（拉普拉斯算子是欧式空间中的二阶微分算子，卸了妆之后的样子是 ）。

为何这样说呢？是因为从广义的特征方程定义看 , 本身是一种变换， 是特征向量或者特征函数， 是特征值。我们对基函数 求二阶导， 可以看出 是变换 的特征函数。

在Graph中，拉普拉斯矩阵 可以谱分解(特征分解)，其特征向量组成的矩阵是 ，根据特征方程的定义我们可以得到 。通过对比我们可以发现 相当于 , 相当于 。因此在Graph上的傅里叶变换可以写作

从傅里叶变换的基本思想来看，对 进行傅里叶变换的本质就是将 转换为一组正交基下的坐标表示，进行线性变换，而坐标就是傅里叶变换的结果，下图中的 就是 在第一个基上的投影分量的大小。

我们通过矩阵乘法将Graph上的傅里叶变换推广到矩阵形式：

是Graph上第 个节点的特征向量，可得Graph上的傅里叶变换形式：

。

此处的 是Graph的拉普拉斯矩阵的特征向量组成的特征矩阵的转置，在拉普拉斯矩阵的优良性质中我们知道拉普拉斯矩阵的特征向量组成的矩阵为正交阵，即满足 ，所以Graph的逆傅里叶变换形式为 ，矩阵形式如下：

到此为止我们已经通过类比从传统的傅里叶变换推广到了Graph上的傅里叶变换。接下来我们就要借助傅里叶变换这个桥梁使得Convolution与Graph把酒言欢了。

在前言中我们了解了大名鼎鼎的卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是其傅里叶变换的乘积，即对于 ,两者的卷积是其傅里叶变换的逆变换：

我们把上一节中得到的Graph上的傅里叶变换公式代入得到：

是Hamada积，表示逐点相乘。

我们一般将 看作输入的Graph的节点特征，将 视为可训练且参数共享的卷积核来提取拓扑图的空间特征。为了进一步看清楚卷积核 ，我们将上式改写为：

也许有人对于上式的变换心存疑虑，证明其实很简单，有意者请看这位答主的解答 GCN中的等式证明 - 知乎

至此，我们已经推导出来GCN的雏形。

1 第一代GCN

卷积 *** 作的核心是由可训练且参数共享的卷积核，所以第一代GCN是直接把上式中的 中的对角线元素 替换为参数 。先初始化赋值，然后通过反向传播误差来调整参数 。

所以第一代GCN就变成了酱个样子：

是Graph中每个节点特征的表示向量， 是每个节点经过GCN卷积之后的输出。Graph中的每个节点都要经过卷积核卷积来提取其相应的拓扑空间，然后经过激活函数 传播到下一层。

第一代GCN的缺点也是显而易见的，主要有以下几点，

2 第二代GCN

面对第一代GCN参数过多的缺点，第二代GCN进行了针对性的改进。由于Graph上的傅里叶变换是关于特征值的函数 ， 也可写作 ，用k阶多项式对卷积核进行改进:

将其代入到 可以得到：

所以第二代GCN是介个样子：

可以看出二代GCN的最终化简结果不需要进行矩阵分解，直接对拉普拉斯矩阵进行变换。参数是 ，k一般情况下远小于Graph中的节点的数量 ，所以和第一代GCN相比，第二代GCN的参数量明显少于第一代GCN，减低了模型的复杂度。对于参数 ，先对其进行初始化，然后根据误差反向传播来更新参数。但是仍旧需要计算 ，时间复杂度为

另外我们知道对于一个矩阵的k次方，我们可以得到与中心节点k-hop相连的节点，即 中的元素是否为0表示Graph中的一个结点经过k跳之后是否能够到达另外一个结点，这里的k其实表示的就是卷积核感受野的大小，通过将每个中心节点k-hop内的邻居节点聚合来更新中心节点的特征表示，而参数 就是第k-hop邻居的权重。

未完待续。

1在谱域图卷积中，我们对图的拉普拉斯矩阵进行特征分解。通过在傅里叶空间中进行特征分解有助于我们我们理解潜在的子图结构。ChebyNet, GCN是使用谱域卷积的典型深度学习架构。

2空域卷积作用在节点的邻域上，我们通过节点的k-hop邻居来聚合得到节点的特征表示。空域卷积相比谱域卷积更加简单和高效。GraphSAGE和GAT 是空域卷积的典型代表。

参考文献

1 https://wwwzhihucom/question/54504471/answer/332657604

2 http://xtf615com/2019/02/24/gcn/

3 https://blogcsdnnet/yyl424525/article/details/100058264

1时移特性的推导过程：

2频移特性的推导过程：

傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

（1）基本性质——线性性质

线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数；两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f(x）和g(x）的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[αf+βg]=α，mathcal[f]+βmathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；

（2）频移性质

若函数f( x ）存在傅里叶变换，则对任意实数ω0，函数f(x) e^{i ωx}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i ωx}]=F(ω+ ω0 ）。式中花体 mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位 sqrt。

傅里叶级数和傅里叶变换都自于傅里叶原理得出；傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。

扩展资料

　1、本质不同。

　傅里叶变换是完全的频域分析，而傅里叶级数是周期信号的`另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它是不同的频率的波形的叠加。

　2、适用范围不同。

　傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。

　3、周期性不同。

　傅里叶级数是一种周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换。傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。