如何用matlab求解热传导偏微分方程？

1、首先要打开MATLAB R2016a软件，如下图所示。

2、然后在打开的页面中，选择默认模式（Generic Scalar）-标量模式，具体如图。

3、建立几何模型，绘制两个椭圆，再定义边界条件，具体如图所示。

4、再定义PDE类型和系数，如下图所示。

5、并将其三角形网格化，具体如图所示。

6、最后可以对PDE图形进行求解了，如图所示就完成了。

毕业多年了，拉普拉斯都忘了，只知道有这么一个变换。matlab中有梯度函数，你只需要将函数写出来，然后迭代就行。例如：函数为f=ax1^2+bx2^2+cx1x2+dx1+ex2+g;

那么，df1=diff(f,x1);df2=diff(f,x2);%对函数分别进行x1，x2的一阶偏导 然后可以组合DF=[df1;df2]; df21=diff(df2,x1);df22=diff(df2,x2);%这里进行求函数二阶导数等，呵呵

实验中一维热传导的含义是热量仅在待测物内沿。

1、热传导的定义

热传导（thermal conduction）是介质内无宏观运动时的传热现象，其在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言，只有在固体中才是纯粹的热传导，而流体即使处于静止状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生自然对流，因此，在流体中热对流与热传导同时发生。

2、一维热传导的含义

所谓“一维”导热是指只沿着一个方向进行的热传导过程(包括圆筒的径向导热)；所谓稳态热传导是指传热速率不随时间而变化即温度梯度只是位置的函数而与时间无关。 所谓“一维”导热是指只沿着一个方向进行的热传导过程(包括圆筒的径向导热)；所谓稳态热传导是指传热速率不随时间而变化，即温度梯度只是位置的函数而与时间无关。

3、工业应用

工业上有许多以热传导为主的传热过程，如橡胶制品的加热硫化、钢锻件的热处理等。在窑炉、传热设备和热绝缘的设计计算及催化剂颗粒的温度分布分析中，热传导规律都占有重要地位。在高温高压设备（如氨合成塔及大型乙烯装置中的废热锅炉等）的设计中，也需用热传导规律来计算设备各传热间壁内的温度分布，以便进行热应力分析。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。

在数理方程中

　　拉普拉斯方程为：▽u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中 ▽ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：　其中 ▽ 称为拉普拉斯算子　拉普拉斯方程的解称为调和函数。　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：　则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或 ▽（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。

狄利克雷问题

　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

诺伊曼边界条件

　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。

拉普拉斯方程的解

　　称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

编辑本段二维拉普拉斯方程

　　两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：　函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数 + h(x,y)对y的二阶偏导数 = 0

解析函数

　　解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且　那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z） = u(x,y) + iv(x ,y)　u 对x的偏导数 = v 对y 的偏导数 ， u 对y 的偏导数 = - （v 对 x 的偏导数）　上述方程继续 求导就得到　所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。　反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：　则等式　成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：　φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：　所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数　那么相应的解析函数为　在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。　拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。　幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即　将每一项系数适当地分离出实部和虚部　那么　这便是f 的傅里叶级数。

三维情况下

　　拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：　上面的方程常常简写作：　或　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：　其中Δ称为拉普拉斯算子　拉普拉斯方程的解称为调和函数。　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：　则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

编辑本段二维拉普拉斯方程

　　两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：

解析函数

　　解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且　那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：　上述方程继续求导就得到　所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。　反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：　则等式　成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：　φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：　所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数　那么相应的解析函数为　在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。　拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。　幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即　将每一项系数适当地分离出实部和虚部　那么　这便是f 的傅里叶级数。

在流场中的应用

　　设u、v 分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x 和y 方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：　无旋条件为：　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：　无旋条件即令 ψ 满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。 柯西-黎曼方程要求　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

在电磁学中的应用

　　根据麦克斯韦方程组，二维空间中不随时间变化的电场(u,v)满足：　和　其中ρ为电荷密度。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：　所以可以构造电势函数φ使其满足　第二个麦克斯韦方程即：　这是一个泊松方程。

编辑本段三维拉普拉斯方程

基本解

　　拉普拉斯方程的基本解满足　其中的三维δ函数代表位于的一个点源。 由基本解的定义，若对u 作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么　由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r 相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a 的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理　求得在以点源为中心，半径为r 的球面上有　所以　经过类似的推导同样可求得二维形式的解

格林函数

　　格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V 的边界S 上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足　现设u 为在V 内满足泊松方程的任意解:　且u 在边界S 上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到　un 和Gn 分别代表两个函数在边界S 上的法向导数。考虑到u 和G 满足的条件，可将上式化简为　所以格林函数描述了量f 和g 对(x',y',z')点函数值的影响。格林函数在半径为a 的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P 的通过球面的“反射镜像”P' 距球心　需要注意的是，如果P 在球内，那么P' 将在球外。于是可得格林函数为　式中R 表示距源点P 的距离，R' 表示距镜像点P' 的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P 的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z 轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：　式中　这个公式的一个显见的结论是：若u 是调和函数，那么u 在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。

在流场中的应用

　　设u、v 分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x 和y 方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：　无旋条件为：　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：　无旋条件即令 ψ 满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。 柯西-黎曼方程要求　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

热传导方程的齐次化原理：非其次方程的通解就是其齐次方程的特解再加一个常数项。

假设q有个密度Q（t，x），于是热流是个依赖于时间的向量函数H（x），其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出，其中n（x）是在x点的向外单位法向量。

偏微分方程

是指微分方程的自变量有两个或以上，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

热量传递主要有三种基本方式：导热、热对流和热辐射。传热可以以其中一种方式进行，也可以同时以两种或三种方式进行。根据传热介质的特征，热量传递的过程又可以分为热传导、对流传热和辐射传热。

1、导热

导热是指依靠物质的分子、原子和电子的振动、位移和相互碰撞而产生热量传递的方式。例如，固体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的部分，就是以导热的方式进行的。

热传导在气态、液态和固态物质中都可以发生，但热量传递的机理不同。气体的热量传递是气体分子作不规则热运动时相互碰撞的结果。气体分子的动能与其温度有关，高温区的分子具有较大的动能，即速度较大，当它们运动到低温区时，便与低温区的分子发生碰撞，其结果是热量从高温区转移到低温区。

固体以两种方式传递热量：晶格振动和自由电子的迁移。在非导电的固体中，主要通过分子、原子在晶体结构平衡位置附近的振动传递能量；对于良好的导电体如金属，类似气体分子的运动，自由电子在晶格之间运动，将热量由高温区传向低温区。

由于自由电子的数目多，所传递的热量多于晶格振动所传递的热量，因此良好的导电体一般都是良好的导热体。

液体的结构介于气体和固体之间，分子可作幅度不大的位移，热量的传递既依靠分子的振动，又依靠分子间的相互碰撞。

在物体各部分之间不发生相对位移的情况下，如固体、静止的液体和气体中以导热方式发生的热量传递过程，称为热传导。

2、热对流

热对流指由于流体的宏观运动，冷热流体相互掺混而发生热量传递的方式。这种热量传递方式仅发生在液体和气体中。由于流体中的分子同时进行着不规则的热运动，因此对流必然伴随着导热。

当流体流过某一固体壁面时，所发生的热量传递过程称为对流传热，这一过程在工程中广泛存在。在对流传热过程中，根据流体的流态，热量可能以导热方式传递，也可能以对流方式传递。

根据引起流体质点位移(流体流动)的原因，可将对流传热分为自然对流传热和强制对流传热。自然对流传热是指由于流体内部温度的不均匀分布形成密度差，在浮力的作用下流体发生对流而发生的传热过程，例如暖气片表面附近空气受热向上流动的过程。

强制对流传热是指由于水泵、风机或其他外力引起流体流动而发生的传热过程。流体进行强制对流传热的同时，往往伴随着自然对流传热。

根据流体与壁面传热过程中流体物态是否发生变化，可将对流传热分为无相变的对流传热和有相变的对流传热。无相变的对流传热指流体在传热过程中不发生相的变化；而有相变的对流传热指流体在传热过程中发生相的变化，如气体在传热过程中冷凝成液体，或液体在传热过程中沸腾而转变为气体。

3、热辐射

物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。辐射有多种类型，其中因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。

自然界中各个物体都不停地向空间发出热辐射，同时又不断地吸收其他物体发出的热辐射。发出热辐射与吸收热辐射过程的综合结果就造成了以辐射方式进行的物体间的热量传递——辐射换热。

当物体与物体或周围环境处于热平衡时，辐射换热量等于零，但这是动态平衡，研究表明物体向外发出的热辐射和吸收的热辐射相等，但是该物体与其他物体或环境之间的辐射与吸收过程仍在不停地进行。

高温物体通过辐射换热将热量传给低温物体实际上是由于高温物体给低温物体的辐射能大于低温物体给高温物体的辐射能的综合结果。

与导热和对流换热相比，热辐射具有如下特点：

①辐射能可以通过真空自由地传播而无需任何中间介质；

②一切物体温度高于0K的物体均能够持续地发射出辐射能，同时也能持续地吸收来自其他物体的辐射能；

③热辐射不仅具有能量的传递，而且具有能量形式的转换。发射时从热能转换为辐射能，而被吸收时又从辐射能转换为热能。

扩展资料

在传热研究中，为了分析问题和数学处理的方便，与研究流体流动时一样，采用了连续介质模型，即通常假定所研究的物体中温度、密度、速度等传热相关物理参数都是空问的连续函数。对于气体只要被研究物体的几何尺度远大于分子问的平均自由程，这种连续体的假定总是成立的。

研究热量传递的传热学与工程热力学都是研究与热现象有关的科学。然而，这两门学科的研究内容和方法是有区别的。首先，工程热力学研究的是处于平衡状态的体系，其中不存在温差或者压力差，而传热学则是研究有温差存在时处于不平衡状态的体系的热能传递规律。

例如，经过高温制备出的材料的冷却，热力学主要研究单位质量的材料在这一冷却过程中散失的热量；而传热学则主要研究该冷却过程受哪些因素影响，冷却过程中温度如何变化，冷却需要多长时间等诸多问题。

其次，热力学中所说的热量通常是指能量，其单位通常用焦耳(J)和卡(kcal)来表示，而传热学中所说的传热量通常是指单位时间内传递的热量，因此其单位通常用瓦(W)等功率单位。

尽管如此，传热学与工程热力学有着密切的关系：分析任何的热量传递过程都要用到热力学第一定律，即能量守恒定律。热量传递过程的动力是温度差，热能总是由高温处向低温处传递。

两种介质或者同一物体的两部分之间如果没有温差就不可能有热量的传递，而这正是热力学第二定律所规定的基本内容。因此，工程热力学的第一、第二定律是进行传热学研究的基础。

在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及

在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。 或者

在单一粒子的情况：单一粒子对位置的机率密度函数，记作P。 不同情况下的方程式：

或者

c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的机率密度P），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间t= 0 时置于 ，则相应的机率密度函数具有以下形式：

它与机率密度函数的各分量Rx,RyandRz的关系是：

随机变量Rx,Ry,Rz服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形，随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。

在t=0时，上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为 （三维的推广是 ）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林函数记作 （t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置，相应的格林函数是 。

对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：

扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：

在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。

一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -\infty<x<\infty,\,0<t

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t