伽马函数4个常用的性质

伽马函数存在四种性质：

1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：T（x+1)=xT(x)

于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：

T(n)=(n-1)!

2、与贝塔函数的关系：B(m,n)=T(m)T(N)∕T(m+n)

3、在概率的研究中有一个重要的分布叫作伽玛分布：F(X)=X∗(a-1)⋋,其中:X>0

4、对X∈(0,1)，有T(1-X)T(X)=Π∕sinΠx

这个公式称为余元公式。

应该是xln(x/a) + yln(y/b) > (x+y)ln[(x+y)/(a+b)] 吧，否则取x=y=b,左边为0，右边只要b>a就会大于0。

改过之后也应该是大于等于号，x=a、y=b时可以取等号，两边为0。

证明：设f(x,y)=左边 - 右边

任意给定y=y0>0，有：

x的一阶导f'(x,y0)=1+ln(x/a) - 1 - ln[(x+y0)/(a+b)] = ln(x/a) - ln[(x+y0)/(a+b)]，

x的二阶导f"(x,y0)=1/x - 1/(x+y0) >0，可知f(x,y0)是关于x的下凸函数，因此只要有极值点一定是最小值点。

令一阶导等于0，可求得x=(ay0)/b时，f(x,y0)取极小值0，也就是最小值。因此左边大于右边右边

同理，给定x=x0>0，类似的也可以证明y=(bx0)/a时，f(x0,y)取极小值0，也就是最小值。因此左边还是大于等于右边。并且两个等号可以同时成立。（若不能同时成立，就可以得出左边严格大于右边的结论）

综上，对于任意给定的正实数x,y,都有f(x,y)大于等于0

即题干中的左边大于等于右边，当且仅当x/y=a/b时等号成立。

证毕：）

一次函数y=kx+b中的k和b的意思分别是k表示斜率,b表示截距，具体的意义如下：

k不等于0时是一次函数

k,b与函数图像所在象限的关系：

y=kx时（即b等于0,y与x成正比)

当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大；

当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当

k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。

、一次函数的图象和性质

①一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线。由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点，通常求出与x轴的交点和与y轴的交点，过这两点作一条直线就行了。我们常把这条直线叫做“直线y＝kx＋b”。

②一次函数中常量k，b(k≠0)：直线y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点是(0，b)，当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b＜0时，直线与y轴的负半轴相交；当b＝0时，直线经过原点，此时一次函数即为正比例函数。一次函数y＝kx＋b中的k，决定了直线的倾斜程度，k的绝对值越大，则直线越接近y轴，即越陡；反之，越靠近x轴，即越平缓。

③一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质：当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，函数y的值随自变量x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，函数y的值随自变量x的增大而减小。

2、正比例函数的图象和性质

①正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx在画正比例函数y＝kx的图象时，一般是经过点(0,0) 和(1,k) 作一条直线。

②正比例函数y＝kx的性质：当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左往右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左往右下降，即y随x的增大而减小。

③直线与直线的位置关系

3、一次函数y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

4、函数的平移规律

记住口诀：上加下减，左加右减。上加下减针对常数项，左加右减针对x。举个例子：

例题：如图,已知点C为直线y=x上在第一象限内一点,直线y=2x+1交y轴于点A,交x轴于B,将直线AB沿射线OC方向平移3√2个单位，求平移后的直线的解析式。

解答：

∵点C为直线y=x上在第一象限内一点，则直线上所有点的坐标横纵坐标相等，

∴将直线AB沿射线OC方向平移3√2个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度。

∴y=2(x3)+1+3，即y=2x+2（注意：向右平移3个单位长度是给x减3，向上平移3个单位长度是给常数项加3）

另外，参考网页链接