应力强度因子的确定

对于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端区域，应力分量可统一写成式（2-20）的形式：

岩石断裂与损伤

式中：fij（θ）为极角θ的分布函数，称为角分布函数；Km表征了裂纹尖端附近区域应力场强弱程度，其中m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ得到KⅠ、KⅡ、KⅢ，分别代表Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端应力场的强弱程度，称为应力强度因子（K因子），定义如下：

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式中自变量ξ如图2-4所示。

若已知应力场，则可用式（2-22）求应力强度因子：

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图2-4 裂纹尖端附近坐标

K的量纲为：［力］［长度］-3/2；SI：N·m-3/2（10-6MPa·m1/2）。应力强度因子的确定方法有解析法、数值法、实测法等，本节分别介绍应力强度因子的确定方法。

一、解析法

解析法又可分为复变函数法与积分变换法，复变函数法可利用Westergaard应力函数或Muskhelishvili法，主要解决二维问题。积分变换法可求解二维、三维问题。由于工程上受力构件的边界形状和边界条件都很复杂，所以求解偏微分方程组时边界条件很难精确满足，因此解析法只适用于物体几何形状比较简单、边界条件容易满足的问题。下面仅介绍常用的复变函数法。

考虑无限大平板受二向均匀拉应力，具有长度为2a的中心贯穿裂纹，由定义：

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取

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满足问题的全部边界条件，代入上式可得

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下面利用这种方法求解几个常见问题的应力强度因子。

1图2-5所示“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹，裂纹表面上x=±b处各作用一对单位厚度的集中力P

由式（2-7）→∞，σx=σy=τxy=0。

图2-5“无限大”平板裂纹面上作用两对集中力

选取复变解析函数：

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边界条件：

ab处，裂纹为自由表面，σy=τxy=0。

c如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为P。

经检验，解析函数Z满足三个边界条件。将z=ξ+a代入复变解析函数中，得

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2如图2-6所示，具有长度为2a的中心贯穿裂纹的无限大平板，距离x=b处作用一对单位厚度的集中力P

选取复变解析函数：

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3如图2-7所示，具有长度为2a的中心贯穿裂纹的无限大平板，距离x=±b范围内的裂纹面受均布荷载，集度为q

图2-6“无限大”平板裂纹面上作用一对集中力

图2-7“无限大”平板裂纹面上作用部分均布荷载

利用叠加原理，根据图2-5的结果可得

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当整个表面受均布载荷时，如图2-8所示，b→a，则

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4如图2-9所示，受二向均布拉力作用的无限大平板，在x轴上有一系列长度为2a，裂纹中心间距为2b的裂纹

图2-8“无限大”平板裂纹面上作用均布荷载

图2-9 二向均布拉力作用的具有系列裂纹的无限大平板

边界条件是周期的：

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在所有裂纹内部应力为零。即：y=0，，-a±2b＜x＜a±2b，σy=τxy=0。

所有裂纹前端σy＞σ。

单个裂纹时：

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又Z应为2b的周期函数，故

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引入变量ξ=z-a，得

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当ξ→0时，，

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，称为修正系数，大于1，表示其他裂纹存在对应力强度因子的影响。若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（b≥5a），可不考虑相互作用，按单个裂纹计算。

对于宽度为W含中心裂纹的有限宽板受均匀拉力，应力强度因子修正系数也可按上述值近似计算，此时用W代替2b：

图2-10 受剪切作用的具有周期性裂纹的无限大平板

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5无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算

Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）：

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对于无限大平板中的周期性的裂纹，如图2-10所示，且在无限远的边界上作用处于平板面内的纯剪切力作用。

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引入变量：ξ=z-a，得

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同理，对于无限大板Ⅲ型周期性裂纹应力强度因子：

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6深埋裂纹的应力强度因子的计算

深埋裂纹的计算模型是无限大体中的片状裂纹，1950年，Green和Sneddon分析了d性物体的深埋椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，如图2-11所示，得到椭圆表面上任意点，沿y方向的张开位移为

图2-11 深埋椭圆片状裂纹

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其中：Γ为第二类椭圆积分。有

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1962年，Irwin利用上述结果计算了这种情况下的应力强度因子：

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在椭圆的短轴方向上，即，有

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此式为椭圆片状深埋裂纹危险部位的应力强度因子。当a≪c时，有

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当a=c时，为圆片状裂纹，此时

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7半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算

工程上更多地遇到的是表面裂纹，常按照表面半椭圆裂纹考虑，但至今未得到严格的解析解，一般根据无限大体中椭圆片状裂纹的解经过修正近似处理。

（1）表面浅裂纹的应力强度因子：当a≪B（板厚）可简化为浅裂纹，这时可以忽略后自由表面对N点应力强度因子的影响，如图2-12所示，近似得到N处的应力强度因子。

图2-12 表面椭圆片状裂纹

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（2）表面深裂纹的应力强度因子：对于表面深裂纹，引入前后两个自由表面，使裂纹尖端的d性约束减少，裂纹容易扩展增大。应力强度因子由下式确定。

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其中：M1为前自由表面的修正系数；M2为后自由表面的修正系数。

Paris和Sih给出的修正系数为

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式中：B为板厚；a为裂纹深度；c为裂纹长度。当a/c→0时，接近于单边切口试样，M1=112。当a/c→1时，接近于半圆形的表面裂纹，M1=1。

当a≪B时，M2≈1，即浅裂纹不考虑后自由表面的影响。对于一般工程问题，表面裂纹最深点处的应力强度因子为

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二、数值解法

解析法适用于无限大平板中简单裂纹的情况，对实际构件及各种试样，当裂纹尺寸与构件或试样其他特征尺寸相比并不是很小时，应考虑自由边界对裂纹尖端应力强度因子的影响。对这类问题很难获得严格的解析解，常用数值方法求其近似解。常用的数值方法有边界配置（位）法、有限单元法、边界元法。这些方法都是通过数值分析求出裂纹尖端附近应力场或位移场的近似表达式，由定义建立应力强度因子的表达式。

1边界配置法

边界配置法是将应力函数用无穷级数表达，使其满足双调和方程和边界条件，但不是满足所有的边界条件，而是在有限宽板的边界上，选足够多的点，用以确定应力函数，然后再由符合边界条件的应力函数确定KⅠ值。

边界配置法主要用于计算平面问题的单边裂纹问题，且只限于讨论直边界问题。下面以图2-13所示的三点弯曲试样为例进行说明。1957年Williams提出一用无穷级数表示的应力函数，称为Williams应力函数：

图2-13 三点弯曲试样

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该函数满足双调和方程：▽4ψ（r，θ）=0。

边界条件：裂纹左、右表面（θ=±π/2），σy和τxy均为零，上式满足。

在外边界上的边界条件的满足如下确定：在有限宽板的边界上选取足够的点，如图2-13所示，使这些点的边界条件满足，则可求出Cj。

为了计算方便引入量纲为一的量：

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其中：B为试件厚度；W为试件高度。

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对于Ⅰ型裂纹：

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在裂纹尖端附近，θ=0，r→0。

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又因为当θ=0时，cosθ=1，当j=1时与r无关，而当j=2，3，4，…，∞时与r有关，当r→0时都为零。

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利用边界条件确定D1，取含裂纹三点弯曲试样的左半段为研究对象，取m个点分析，以2m有限级数代替无限级数精度足够。

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其中S=4W为标准试件，式（2-41）、式（2-42）为美国ASTM-E399-72规范建议的公式。

2确定应力强度因子的有限元法

有限单元法以变分原理为理论基础，将连续体离散成有限单元来分析其变形和应力，然后进行整体分析求得受力物体的应力场和位移场。有限单元法能解决复杂几何形状和载荷情况比较复杂的裂纹体的应力强度因子。比较成熟的是奇异单元的应用。不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的。一些实验方法、解析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解d塑性体的应力和位移场，而应力和位移场与K密切相关，所以，可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算。

利用位移法求应力强度因子，如Ⅰ型裂纹：

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式中。

通过有限元法求出裂纹尖端附近的位移场，计算（r，π），然后外推到裂纹尖端，这种方法为外推法。

也可利用应力法求应力强度因子，这时先求应力场：，然后求当θ=0时的应力分量，即。

三、实测法

由于实际问题的多样性和复杂性，计算比较困难，特别是三维问题。对于d塑性断裂问题、动态断裂问题常应用具有直观性和模拟性的实测法。常用的实则方法有柔度法、网络法、光d性法、激光全息法、激光散斑法、云纹法等。其中光d性法求裂纹应力强度因子的基本原理如下：

对于Ⅰ型裂纹，如已求得σx、σy、τxy，则可求出最大切应力，根据光d性原理有

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式中：n为光d性模型的条纹级数；f为材料的条纹值；d为试样厚度。将σx、σy、τxy代入上式得：

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由光d性实验等差线和等倾线条纹图测出ri、θi、ni，求得，得出曲线，外推至r→0处有

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四、叠加原理及其应用

1KⅠ的叠加原理及其应用

线d性叠加原理：当n个载荷同时作用于某一d性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和。叠加原理适用于KⅠ。

证明：

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设在F1载荷作用下，有

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设在F2载荷作用下，有

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由叠加原理有

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因此，计算复杂载荷下应力强度因子的方法：将复杂载荷分解成简单载荷，简单载荷作用下的应力强度因子可利用前述方法或查KⅠ手册。

下面利用叠加原理求图2-14（a）所示铆钉孔边双耳裂纹的KⅠ值。首先将图（a）分解为图（b）+图（c）-图（d）。

图2-14 铆钉孔边双耳裂纹的叠加原理计算

根据叠加原理：，因为，所以：

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其中可查应力强度因子手册。

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式中：D为圆孔直径；W为板宽度；a为双耳裂纹长度。

确定：

无限板宽中心贯穿裂纹受集中力P作用时：

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考虑有效裂纹长度：得

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有限板宽的修正系数：

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所以

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2应力场叠加原理及其应用

应力场叠加原理：在复杂的外界约束作用下，裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束，但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹处产生的内应力所致的应力强度因子。

如图2-15（a）所示为具有中心穿透裂纹的平板，在上下边界受均匀拉应力作用，将其分解为图（b）和图（c），图（b）为除板边力以外，在裂纹面上还作用一组反力，使裂纹恢复原状，从而相当于裂纹不存在。因此图（b）问题是一般的d性力学问题。它的解在研究裂纹尖端的应力奇异性时是可以不予考虑的。图（c）代表的问题是裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。

图2-15 应力场叠加原理的应用

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在裂纹端部问题的意义上，图（a）等价于图（c）。因此可用无裂纹构件中裂纹位置处由于外力作用所引起的应力——“当地应力”求解各种受力情况下的应力强度因子。

对于Ⅱ型和Ⅲ型裂纹，如图2-16所示，也可将在无穷远处（板的边缘）受载荷作用而裂纹表面应力自由的裂纹问题（问题A），转化为问题B与C的叠加。问题B相当于除板边力以外，在裂纹面上还作用一组反力，使裂纹恢复原状，从而相当于裂纹不存在。问题C是裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。因此在裂纹端部问题的意义上，问题A等价于问题C。

图2-16 叠加原理的应用

对于问题C三种型式的裂纹的解有共同的表达式，裂纹面上的边界条件为

Ⅰ型裂纹：

Ⅱ型裂纹：

Ⅲ型裂纹：

应力函数Z：

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应力强度因子K：

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问题C在地学中具有实际意义。在断层问题中，依据位移测量和地震波反演，可以推测断层面上的应力场，而远场应力状态至今还没有得到可靠数据。因此，由应力场可以推断出断层应力场和位移场的变化量，研究断层的动力过程。

计算各种裂纹体的应力强度因子是线d性断裂力学中一项十分重要的任务。各种受力情况及不同裂纹位置的应力强度因子资料已编辑成手册。在中国航空研究院主编的《应力强度因子手册》中可查到大部分应力强度因子的数据，一般断裂力学教材中也附有常用应力强度表达式，故在此不再详述。

用半逆解： 一、根据图示受力情况假设δy=0根据应力量与应力函数关系推导未知数应力函数 二、根据相容程求应力函数部未知量或者自满足 三、再根据应力函数与应力量关系求δxτxy含未知数

　　普朗特应力函数（等截面轴扭转的那个）M(L^-2)(T^-2) 力除以距离的三次方

艾里应力函数（平面应力问题和平面应变问题的那个）M（L^-3）（T^-2） 力除以距离的四次方

用半逆解法： 1、根据图示受力情况，可假设它的δy=0，根据应力分量与应力函数的关系，可以推导出还有未知数的应力函数。 2、根据相容方程求出应力函数中部分未知量或者是自然满足。 3、再根据应力函数与应力分量的关系，求出δx和τxy的含未知数的

d性力学问题的求解有三条路线：位移法，应力法，混合法。位移法的微分方程复杂，不容易求解，但适用广；应力法的微分方程可能相对容易求解，但适用范围小。

d性力学问题的经典求解方法一般都是应力法，其分为逆解法和半逆解法。所谓逆解法，先假设满足相容方程的某种形式的应力函数，由此推导出应力分量，应力分量必须满足应力边界条件；所谓半逆解法，先假设满足应力边界条件的某种形式的应力分量，由此推导出应力函数，再由应力函数推导出其它应力分量，应力函数要满足相容方程，应力分量要满足应力边界条件。

除以上之外，还需掌握应力分析，应变分析，强度理论。

所谓应力分析，包含，斜截面应力，八面体应力，主应力，等效应力，第一第二第三不变量等，应变分析类似；强度理论，其实是材料的强度理论，各种材料适用不同的强度模型。

平衡方程图

应力下标方法：对于切应力，第一个下标是应力所在平面的法向，第二个下标是应力的方向。对于正应力，下标是应力的方向。

微元体是一种力学模型，同时具有点和体的属性，很微妙。微元体上尺度的增量引起应力的增量，可用泰勒级数表示：

这是个数学公式，学d性力学不需要对这个纠结。但是，为什么可以略去二阶微量建立平衡方程，真的是因为微量的原因吗？笔者直觉上不接受这种说法。

笔者认为，只考虑一阶的影响，是因为假设了微元体应力沿方向的变化是线性的。笔者又联想到有限元方法中的单元，一阶单元的位移是线性的，应变和应力是不变的，所以称为常应变单元；二阶单元的位移是二次的，应变和应力是线性的，所以称为线应变单元。只要微元体的应力是线性变化的，那么二阶以及更高阶微量就是零，就是不存在，并不是因为微小而忽略。

那么问题来了，是否可以假设微元体的应力是线性变化的呢？当然可以，虽然整个场的应力分布可以是非线性的，但微元体可以无限小，这其实有哲学意味。

那么还有一个问题，是否可以假设微元体应力不是线性的，是二次的行不行？当然可以，不过此时平衡方程要改，整个理论体系都要重新建立。但还是因为微元体是无限小的，线性变化和非线性变化并不影响问题的实质。