分形维数的原理简介

fractal dimension主要描述分形最主要的参量。简称分维。通常欧几里德几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是 3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、射尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为 3×4×4/3=16 英寸；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的 ，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，谢尔宾斯基海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。

雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生假定也跟雪花类似。

由图1那样的等边三角形开始。然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边。接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三分后的中段，像图3那样向外画新的尖形。不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线。

雪花曲线令惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！

雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际上其面积等于原三角形面积的8／5倍。

把下面的程序保存为plotkochm，然后在command windows中输入plotkoch(8)即可，其中8是迭代次数，你可以换成别的整数。
function plotkoch(n)
[x,y]=koch(n);
fill(x,y,'w');
text(0,0,{'\centerline{The area surrounded by Koch Snow Curve is $\displaystyle\frac{2\sqrt {3}{n}^{2}}{5}$}',
'\centerline{($n$ is the side length of the original triangle)}',
'\centerline{The dimension of the curve is $\log{_34}$}'},
'interpreter','latex','horizontalalignment','center')
axis equal off;
function [x,y]=koch(n)
if n==1
t=linspace(0,2pi,4);
x=cos(t);
y=sin(t);
else
p=1/3;h=psqrt(3)/2;
[x,y]=koch(n-1);
xx=x(1);yy=y(1);
dx=diff(x);dy=diff(y);
ax=(1-p)x(1:end-1)+px(2:end);
ay=(1-p)y(1:end-1)+py(2:end);
bx=px(1:end-1)+(1-p)x(2:end);
by=py(1:end-1)+(1-p)y(2:end);
ox=(x(1:end-1)+x(2:end))/2+hdy;
oy=(y(1:end-1)+y(2:end))/2-hdx;
x=[reshape([x(1:end-1);ax;ox;bx],1,[]),x(end)];
y=[reshape([y(1:end-1);ay;oy;by],1,[]),y(end)];
end

Koch雪花可由一个正三角形生成，即将正三角形的每一边三等分后将中间一段向外凸起成一个以该段长度为边长的正三角形（去掉底边），然后对每一段直线又再重复上述过程，这样无休止地重复下去即得Koch雪花。Koch雪花是分形几何中的一个典型范例，从几何的角度讲，其最显著的特点是其具有自相似性，即比如你用放大镜去看每一个细小的部分，它都与整体的结构是完全相似的，且无论“放大镜”的精度有多高，这种局部与整体的相似性都是可以保持的。从分析的角度讲，这种曲线是处处连续（它的外围实际上连成一条线）但又处处不可微（因处处都存在“尖点”，不是光滑曲线）。从维数的角度讲，它既不是一维的（而传统意义上的“线”都是一维的），也不是二维的（因“面”才是二维的，而显然它并没有布满一个面，它只是一条线），而是介于一维和二维之间，即是具有分数维的一种图形。

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