牛顿迭代法收敛性的一点讨论

牛顿迭代法收敛性的一点讨论 牛顿迭代法收敛性的一点讨论

今天在使用牛顿迭代法求方程的数值解时，发现其一会儿收敛，一会儿不收敛，于是认证研究了下牛顿迭代法的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛性分为局部收敛性与全局收敛性。
**局部收敛性：**若α是f(x)=0的一个单根, f(α)=0,f’(α)≠0,ϕ’(α)=0, ϕ’’(α)=f’’(α)/f’(α), 则在根α附近Newton
法是局部收敛的, 并且是二阶收敛的。这个附近指的是充分接近。要多接近呢？似乎没有进一步的证明。
这就决定了牛顿迭代法的初值选取非常重要，只有在解的附近选初值才具有局部收敛性。可是证明去找解的附近呢？一种方法是先用二分法找一个大概的解，再用牛顿法求解。
然而，对于某些函数，初值离解很远也能收敛，这就要谈到全局收敛性了。
全局收敛性：
设f(x)在有根区间[a, b]上二阶导数存在，且满足
(1) f(a)f(b)<0;
(2) f’(x)≠0, x∈[a, b];
(3) f’’(x)不变号, x∈[a, b];
(4)初值x0 ∈[a, b]且使f’’(x0) *f(x0)>0;
则Newton迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一根。
其中，条件（2）和（3）要求函数在区间内为凸或凹函数，条件（4）又规定了初值接近解的方向，算是比较苛刻的条件。以f(x)=lnx为例，若选择初值x0为4，则第一次迭代后的值x1为-1.505，超过了定义域，就不收敛了。

可如果初值选择0.5，则是收敛的。