以e为底的指数函数

以e为底的指数函数 数学里的e为什么叫做自然底数？

如果你有1元钱，如果每年的利息是1元，那么，你到年底可以收回2元。

按照每月的收益率来说，你每个月的利息是1/12元，如果你要求每月支付利息，而且可以利滚利——像余额宝那样，那么，你到年底可以拿到的钱是（1+1/12）的12次方。

如果你变得贪婪，要求每天支付利息，而且可以利滚利——像余额宝那样，那么，你到年底可以拿到的钱是（1+1/365）的365次方。

最后的最后，你觉得还不够，你要求每个瞬间都支付利息，而且可以利滚利，那么，你可以拿到的钱是（1+1/n）的n次方，而且n趋向于无穷大。

这个时候，你能拿到的钱是e，也就是欧拉自然常数，大约等于2.718……所以，自然常数e显然与最高级别的利滚利有关，在生活中，它的出现是非常自然的，也是很深邃的——因为贪婪是人性的基本面。

在大自然中，e也是到处存在，最重要的存在其实可以用数学中关于复数的运算来实现。

首先，你需要知道棣莫弗定理。

设存在两个复数(用三角形式表示），分别是Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），那么，它们的乘积：Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].棣莫弗的这个发现后来被欧拉用e表示了出来，显得更加优美：欧拉把三角函数全部用e的指数表示了出来。

至于为什么欧拉能做到这个，需要从微积分的泰勒展开的角度去理解，总之，这个公式被很多人认为是最优美的：当x等于圆周率的时候，结果是-1。

e是一个无限不循环的小数，它其实是一个超越数，不过它背后可能还有很多其他的秘密，等待我们去发掘。

e的产生与复利有关伯努利的问题与复利有关。

假设你在银行里存了一笔钱，银行每年以100%的利率兑换这笔钱。

一年后，就可以得到2倍的钱．现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。

在这种情况下，一年后的收益为（1+50%）^2=2.25倍。

而假设银行每月提供8.3%（100%的1/12）复利息，或每周1.9%（100%的1/52）复利息。

在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1+1/12）^12 = 2.61倍和（1 1/52）^52 = 2.69倍。

根据这个规律，可以得到一条通式。

如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数1/n。

一年后的收益公式为（1+1/n）^n。

例如，如果利息每年复利5次，那收益则为初始投资的（1+1/5）^5 = 2.49倍。

那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1+1/n）^n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。

原来，当n趋于无穷大时，（1+1/n）^n并非也变得无穷大，而是等于2.718281828459……这是一个类似于圆周率的无限不循环小数（即无理数），用字母e表示，被称为自然常数。

它为什么叫自然常数，而不是其它常数？ 这个问题我想也是大家思考的问题，e＝2.718281828459……是自然律一种量的表达．自然律的表达是＂螺线＂，螺线一般有五种形式：１对数螺线２阿基米德螺线３连锁螺线４双曲螺线５回旋螺线阿基米德螺线回旋螺线双曲螺线等角螺线或对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线可以写为看不懂忽略对角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。

雅各布．伯努利后来重新研究之。

他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。

他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。

可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去． *** 的贝壳像对数螺线菊的种子排列成对数螺线鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物昆虫以对数螺线的方式接近光源蜘蛛网的构造与对数螺线相似旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。

银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。

低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线 英国蓍名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到:旋涡形或螺线开形逐渐缩小到它们的中心,都是美的形状。

事实上,我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。

为什么我们的感觉、我们的"精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样—种螺线的形式中得到满足呢?这难道不意味着我们的精神,我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗?我们知道,作为生命现象的基础物质蛋白质,在生命物体内参与着生命过程的整个工作,它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷,是同其结构紧密相关的。

化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的,决定遗传的物质—核酸结构也是螺旋状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器,当它的琴弦在风中振动时,能产生优美悦耳的音调。

这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。

让人深思的是,人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。

这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗?还有我们的指纹、发旋等等,这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应,也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础．我想这就是为什么称之为自然常数的原因．数学和物理学中的应用又用上了这图自然常数也和质数分布有关。

有某个自然数a，则比它小的质数就大约有个。

在a较小时，结果不太正确。

但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。

这个定理叫素数定理，由高斯发现。

此外自然常数还有别的用处。

比如解题。

请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。

把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。

（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。

）此时，便要用到自然常数。

这需要使a尽量接近e。

则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。

这样，每份为100/37，所以a的b次方的最大值约为“94740617+167818+32.652”。

e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。

因为e=2.7182818284... ，极为接近循环小数2.71828(1828循环)，那就把循环小数化为分数271801/99990，所以可以用271801/99990表示为e最接近的有理数约率，精确度高达99.9999999(7个9)% 。

e对于自然数的特殊意义所有大于2的2n形式的偶数存在以为中心的共轭奇数组，每一组的和均为2n,而且至少存在一组是共轭素数可以说是素数的中心轴，只是奇数的中心轴。

改变世界的二十个公式之一：欧拉公式最伟大的公式这个公式将我们最常见的常数０、1、i、e、π集合在一起，可以说是最完美的公式，最伟大的公式！我是学霸数学，专注于数学，欢迎关注！