简谐运动

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维基百科的定义如下：简谐运动，或称简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种机械振动。

当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。

01 简谐运动的公式推导简谐运动中的d簧振子是最常见的例子之一。

d簧连接的小球在平衡点两侧的点A和B之间来回运动。

公式推导第一步是将d簧的力和小球M的运动相关联。

这就用到两个定理：胡克定律和牛顿第二定律。

上述公式中的负号请参见动态图中的箭头指向，它表明力的方向永远与形变方向相反。

而牛顿第二定律成功的将力与加速度连接在了一起。

这时候会第一次用到微积分，形变量 x 的一阶导数为小球运动的瞬时速度，而二阶导数则是小球运动的加速度。

上图中最后的运动公式即使推导的关键，我们假设 k/m = ω^2。

ω代表的是角速度，之后详细讲解。

推导的过程如下：二阶导数转换是第一个难点而之后将x做三角代换是第二个难点。

如有不懂，请留言。

最后我们即可得到简谐运动的一般公式了。

A代表的是振幅。

02 ω的物理意义ω的物理意义是角速度，刚开始接触很难理解，但是结合上述动图，你就可以轻而易举的找到ω的位置。

由于简谐运动遵从三角函数，我们将d簧的运动理解成B点在圆上的运动，那么ω则是B点运动的角速度。

这样是不是很容易理解03 总结动图教学可以让知识的理解更加简单。

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简谐振动在物理学中是非常重要的，有些人甚至说物理学家只研究简谐振动（匀速直线运动太简单了，不是简谐振动的运动又太难了），同一系列的推导会在后续的学习中反复出现，比如学量子力学的时候还会推一编（简谐振子的量子化），学固体物理的时候还会推一编（声子），学量子场论的时候还会推一编（电磁场的量子化）……现在我们在高中物理（牛顿力学）的知识背景下进行推导。

假设有一根d簧，d簧的d性系数是k，d簧的一端是质量为m的滑块，假设d簧和滑块是水平放在桌面上的（忽略摩擦），这样我们就不需要考虑滑块本身重量对d簧的拉长了。

滑块在d性回复力的作用下将在平衡位置附近做简谐运动。

假设我们不对滑块施以任何力，此时滑块会位于一个“平衡”位置不动，我们假设这个位置是0，即坐标的原点。

现在假设我们水平地向右拉动滑块到x位置，d簧被拉长了x，d簧的d性力是-kx，负号表示d力和x的方向正好相反。

根据牛顿第二定律，此时滑块的运动由这个方程描述：F=ma，即：在上式中我们已经把滑块的运动表示成了一个“二阶常微分方程”，二阶常微分方程的求解需要知道两个初始条件，在这里我们可以假设t=0时，滑块的位置是a，滑块的速度是0。

我们把上面的二阶常微分方程写成更好看的样子：我们一般把k/m改写为：“x上面有两点”，表示的是x对时间t求两次导数：我们要求的就是x(t)，即位置x随时间t变化的规律。

现在考虑试探解：这里A和φ是两个待定系数。

x对时间求一次导数：继续再求一次导数：我们发现这样的x(t)就是我们要找的解，而且是个通解，因为里面有两个待定系数，正好可以用初始位置x(0)和初始速度v(0)来确定。

针对我们这里的初始条件，x(0)=a，v(0)=0，我们得到的解是：