关于d性力学复变函数方法介绍

[拼音]：tanxing lixue fubian hanshu fangfa

[外文]：complex variable method in theory of elasticity

用复变函数求解d性力学问题的方法，主要用于求解平面问题。

在d性力学平面问题中，基本方程是双调和方程，即ΔΔφ＝0，式中Δ为拉普拉斯微分算符，φ是艾里应力函数（见应力函数和位移函数）。将双调和方程表示为复变函数形式，即，式中z＝x＋iy为复变量；墫为z的共轭，此方程的通解为：

φ＝Re[墫ψ(z)+χ(z)]，

式中ψ(z)、χ(z)为任意解析复变函数；Re表示复变函数实部。所以d性力学平面问题就归结为求解两个满足用复数表示的d性力学边界条件的复变函数ψ(z)和χ(z)。对于各向同性材料，平面问题的应力位移与ψ(z)、χ(z)的关系为：

式中σx、σy、τxy为应力分量；i=刧；u、v为位移分量；G为剪切模量（见材料的力学性能）;函数上的横线表示复共轭；K为常数。对平面应变问题，K=3-4ν；对平面应力问题，，式中ν为泊松比。

同d性力学中的实函数方法相比，复变函数方法有如下优点：

（1）实函数解法常常是针对特殊问题寻求一种特殊的应力函数，而复变函数方法具有一般性；

（2）对于多连通域的d性平面问题，用实函数求解十分困难，而用复变函数方法可以获得一些问题的解析解；

（3）对于位移边值问题及位移和力的混合边值问题，用复变函数方法比用实函数方法容易求解；

（4）可利用保角变换和柯西型积分求出许多边界形状复杂问题的解析解。

用复变函数表示双调和函数是法国的┵.J.B.古尔萨在1898年首先提出的。俄国的Г.В.科洛索夫在1909年将复变函数应用于d性力学的平面问题。苏联的Н.И.穆斯赫利什维利曾对更为一般的d性力学平面边值问题进行严格的论证，并建立了完整的d性力学复变函数方法。他在1933年发表的《数学d性力学的几个基本问题》一书中发展了平面d性理论的一般解法，该书获得了很高的评价。20世纪50年代前后，苏联的Г.Н.萨温利用复变函数方法解决了大量的应力集中问题。60年代以后，复变函数方法在线d性断裂力学中得到广泛的应用和发展，但在解决三维d性力学问题方面，还存在一定的困难。