关于拓扑线性空间介绍

[拼音]：tuopu xianxing kongjian

[外文]：topological linear space

又称拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，赋范线性空间概念的推广。

泛函分析早期所研究的空间大都是赋范线性的。但到了30年代初，人们已经充分地认识到，无论从巴拿赫空间理论本身，还是算子代数的研究，都必须引进一般的，不只是序列收敛的弱拓扑。那时已经把巴拿赫空间的一些基本结果推广到完备的、拟赋范的线性空间上去。其后，分布理论的出现，又提出一批新空间如D空间、φ空间等等。这样大量的重要空间就不再是赋范线性的了，于是有必要在它们的基础上，建立起局部凸拓扑线性空间理论。从而开创了新的研究领域，也使泛函分析旧有的理论得到进一步发展。

设x 既是实或复的数域K上的线性空间，又是拓扑空间，并且x×x→x 的映射{x，y}x+y和K×x→x 的映射{α，x}αx都是连续的，则称x为拓扑线性空间。以下还假定所论拓扑线性空间是豪斯多夫空间，因为绝大多数有趣的定理和应用都是关于这类空间的。

线性空间E中的点集A，如果当x，y∈A且0≤α≤1时αx+(1-α)y∈A，则称A是凸集。设A与B是拓扑线性空间x中的点集，如果存在α>0使B嶅αA，则称A吸收B。如果任何x∈x 都被M吸收，则称M为吸收的点集。若对x∈M，当｜λ｜≤1时总有 λx∈M，则称M是平衡的。显然赋范线性空间中的点集 {x;‖x‖<r}都是吸收的，平衡的。设M嶅x，若对0点的每个邻域V都有α>0使M嶅αV则称M为有界集。

拓扑线性空间x为赋范的充要条件是 x的0点有凸的、有界的邻域。

如果线性空间x上每个元x都恰有一数‖x‖与之对应，且①‖x‖≥0又‖x‖＝0当且只当x=0；

（2）‖-x‖=‖x‖， 又当 αn→α，‖xn-x‖→0 时有；

（3）‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，则称x为拟赋范的线性空间。这是赋范线性空间的重要推广。若x 还按距离d(x，y)＝‖x-y‖是完备的，便称x为F空间。[0，1]上全体几乎处处是有限的，可测实值函数构成的集合S[0，1]按

成为典型的F空间。F空间都是拓扑线性空间。

如果拓扑线性空间x在0点存在由凸集构成的邻域基，则称x为局部凸拓扑线性空间，简称为局部凸空间。局部凸空间上必定存在非零的连续线性泛函。可以证明S[0，1]上没有非零的连续线性泛函，从而S[0，1]便不是局部凸的。对于这样的空间当然也就没有对偶理论了。据此可见局部凸假设的重要性。

对局部凸空间x，可以证明存在x在原点之邻域基，其中每个邻域都是凸的、平衡的、吸收的。

若C是线性空间E中一个凸的，吸收的点集，则有所谓闵科夫斯基泛函

，

它具有性质：

（1）ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y)，②当t≥0，ρ(tx)=tρ(x)，③若又设C是平衡的，则ρ(αx)=｜α｜ρ(x)。一般也称具有性质①与③的函数ρ(x)为半范数。

另一方面，于一族半范数，如果ρα(x)=0对一切α∈A都成立导致x=0，则全体{x｜ραj(x)<ε，i=1，2，…，n}，其中αi∈A，ε>0，便生成一个局部凸空间在0点的邻域基。在应用上，许多局部凸空间正是这样自然形成的。

完全的、可度量化的局部凸空间称为弗雷歇空间。在文献上，弗雷歇空间这个词的使用是不统一的，也有不少人把前述F空间叫做弗雷歇空间。局部凸的空间x可度量化必须且只须 x上的拓扑能由可数多个半范数生成。巴拿赫空间上的算子理论大部分可以推广到弗雷歇空间上去。许多重要的空间是弗雷歇空间或者是由它们生成的，例如φ(Rn)空间、DK空间、D空间等等。

重要的哈恩－巴拿赫定理也可以表述为：若巴拿赫空间x 的线性簇 g（线性空间经平移后的集）与开球K不相交，则有闭超平面H使H叾g而H∩K=═（见巴拿赫空间）。上述g与K是很特殊的凸集。但对于有限维空间，H.闵科夫斯基在1911年便已论述了一般凸体的分离定理。对于局部凸拓扑线性空间x 有下述一般的分离定理:设A与B是x中非空的、不相交的凸集，则①若A含有内点，则有x上之非零连续线性泛函ƒ与实数r使Reƒ(x)≤r≤Reƒ(y)（当x∈A而y∈B）；

（2）若A是闭的，B是紧集，则有x上之连续线性泛函与实数r1，r2使得Reƒ(x)<r1<r2ƒ(y)（当x∈A而y∈B）。分离定理对于凸集之拓扑性质的研究是很有用的。凸集的几何学是拓扑线性空间论的特色。

在凸性的研究中，很早就出现了端点这概念。后来发展成重要的端点方法。

设E是线性空间，═≠M吇K嶅E，如果从K中两个点k1和k2的一个真凸组合，恒有k1，k2∈M，则称M为K之端集。如果单点集{z0}是K的端集，则称z0为K的端点。

设K是Rn中的紧凸集。闵科夫斯基证明每个x∈K都可表示成至多n+1个K之端点的凸组合。

起源于对巴拿赫空间的共轭空间中弱*紧集的研究，1940年证明了很有用的克列因-米利曼定理：设K是局部凸空间x中的紧集，又K之全体端点为ε，则K吇ε之凸闭包，如果K还是凸的，则K=。

G.绍凯在1960年证明了如下定理：设K是度量空间x中凸的紧集，则K所有端点的集合ε是一个GΔ集合，且对每个x∈K，有定义在x之一切贝尔集上之非负的贝尔测度μx(·)使得μx(xε)=0，μx(ε)=1且。

设x是线性空间，Y是x上一些线性泛函构成的线性空间，且Y能分离x的点，即ƒ(x)=0对一切 ƒ∈Y 都成立时导致x＝0，便把这样一对空间记作<x，Y>。

对于〈x，Y〉，则x上使Y中一切泛函都连续之最弱的局部凸拓扑便称为x上的Y弱拓扑，记作σ(x，Y)。实际上，一切就构成 σ(x，Y)在0点的一个邻域基。当x是巴拿赫空间时，则x上的弱拓扑即σ(X，X*)，而x*上的弱拓扑即σ(x*，x)。

设线性空间x按拓扑J成为局部凸空间，记作(x，J)。所有在 x上按J连续的线性泛函称为(x，J)的拓扑对偶，记作x*。在x上除了σ(x，Y)还可能有其他的局部凸拓扑J使(x，J)的拓扑对偶恰好是Y。人们自然希望能刻画出所有这样的拓扑J。

对于〈x，Y〉，则在Y之任何凸的，σ〈Y，x〉紧的点集上皆一致收敛的拓扑称为x上的麦基拓扑，记作τ(x，Y)，亦即必须且只须y(xα)在Y 之任何凸的σ(Y，x)紧的点集上都一致收敛。

拓扑τ(x，Y)比σ(x，Y)强。

麦基－阿伦斯定理 对于〈x，Y〉，则 x上之局部凸拓扑J使（x，J）的拓扑对偶恰好是Y的充要条件为σ(x，Y)吇J吇τ(x，y)。拓扑J也称为〈x，Y〉拓扑。

对〈x，Y〉与M嶅x，则

称为M的极集。当 x＝Y 为希尔伯特空间，而M是x之子空间时，则 M0即 M寑。当x为巴拿赫空间，Y=x*而M={x｜‖x‖≤r}时，则

。

布尔巴基-阿劳格鲁定理 设U嶅x是O点之凸的、平衡的、某〈x，Y〉拓扑的邻域，那么U0是Y中σ(Y，x)紧集。

这是一般拓扑学在泛函分析中的重要成就。

对于一个重要的性质p，人们希望能完全地刻画出使p得以成立的空间结构。这显然是有趣的，事实上也往往是很有价值的。于是在拓扑线性空间论中便提出许多重要的空间，例如桶空间、蒙泰尔空间、核空间等等。

局部凸空间x 中之平衡的，吸收的凸闭集叫做桶。如果x的每个桶都是O点的邻域，则称x 为桶空间。这空间的特性在于下列定理:设x 是局部凸空间，则x*中一切σ(x*，x)有界集皆同等连续的充要条件是x 为桶空间。凡属第二纲的局部凸空间都是桶空间，于是巴拿赫空间，弗雷歇空间都是桶空间。广义函数论中的D空间也是桶空间。

设x是桶空间。如果x中每个有界闭集都是紧的，则称x为蒙泰尔空间。广义函数论中之D空间与φ空间都是蒙泰尔空间。

如果局部凸空间x中任何凸的，平衡的，能吸收任何有界集的点集都是O点的邻域，则称x 为有界型空间。设线性算子T 把有界型空间x 映入局部凸空间Y，如果T把每个有界集都映成有界集，则T是连续的。

正是由于研究映射的连续性，在局部凸拓扑线性空间论中便出现了种种拓扑和空间。前述之弱拓扑、麦基拓扑、有界型空间等都是如此。

设E为局部凸拓扑线性空间，V 是O点的一个凸的、平衡的邻域。视{y｜pV(x-y)=0}为一个元慜V，这里 pV为对应于V的闵科夫斯基泛函。 所有如此慜V按成为一个赋范线性空间xV。如果对O之任给的一凸的、平衡的邻域U，都存在O 的凸的、平衡的邻域V 使V嶅U且相应的典则映射的完备化空间U为核算子，则称x为核空间，它是抽象核定理得以成立的局部凸空间，是数学分析中重要的拓扑线性空间。

由于数学及其应用的要求，人们往往要从熟知的空间，构造出新的拓扑线性空间。

设x是复(或实)线性空间，{xn} 都是局部凸空间，且 设xn上的局部凸拓扑是xn+1的拓扑在xn上的限制，设U是由x中所有那些凸的、平衡的、吸收的点集U组成，每个U∩xn 都是xn中的开集n=1，2，…，则U是一个局部凸拓扑在O点的邻域基，这局部凸空间便称为{xn}之严格归纳极限，这在广义函数论中是很重要的概念。特点是：设T为从x到局部凸空间Y 的线性映射，则T是连续的必须且只须每个限制T｜xn都连续。弗雷歇空间序列的严格归纳极限称为LF空间，它是分析学中一类很有用的空间。

乘积拓扑（见拓扑空间）的推广。 设：{Eα}α∈A 是一族拓扑线性空间。设φα是一族从线性空间E到Eα的线性映射，则E上一切使φα(α∈A)都连续的拓扑中之最弱者称为E上相对于{φα}α∈A的投影拓扑。

以桶空间这类型说，由它生成的商空间、乘积空间、严格归纳极限等都仍然是桶空间。一般对各种类型的空间，往往需要考察由它们生成的空间是否保持原来的类型不变。

参考书目

1. N.Bourbaki，Espaces Vectoriels Topologigues， Actualités Sei. Ind Hermann， Paris， 1953，1955.
2. J.L.Kelley and I.Namioka， et al.，Linear Topological Spaces， Van Nostrand，New York，1963.
3. G.Kthe，Topological Vector Spaces， Vo1. I，Springer-Verlag， New York， 1969.