关于常微分方程近似解析解介绍

[拼音]：changweifen fangcheng jinsi jiexijie

[外文]：approximate analytic solution of ordinary differential equation

常见的常微分方程中只有极少数的类型可以用初等函数显式地写出精确解析解。工程技术及自然科学各部门的需要使得人们去寻求近似解析解，即解析形式的容许一定误差的解。

常见的有初等解的微分方程如常系数线性常微分方程

(1)

式中t为时间，I为电流，L、R、C分别为电路中的自感、电阻及电容，其解为

(2)

又如最简单的单摆方程

(3)

式中g 为重力加速度，l为摆长，φ为幅角，则是非线性的，其解为椭圆函数，很不便于应用。再如，有的线性方程像量子力学中常见的方程

(4)

它对未知函数u(x)是线性的，但V(x)随x变化，是一个变系数线性方程，它是没有精确解析解的。可见，有许多常微分方程没有精确解析解，或虽有精确解析解，但不是初等解析函数，因此对这些方程必须去寻求近似解析解。

工程上常用的求近似解析解的办法有两种：

（1）线性化 例如，对单摆方程(3)，当单摆角度不大时（如），用φ代sinφ，使(3)线性化为

得到(3)的近似解析解

（2）小参数展开 即当问题中有某种量相对较小时，取作小参数，对它展开，逐次求近似（见常微分方程摄动方法）。例如在日、地、月三体问题中，太阳质量、地球质量与月球质量三者之比是

因此月球质量可以看作小参数，各种量对它展开为幂级数，逐次求解。在(4)中，取

啚为普朗克常数，取作小参数，代入(4)，一次近似得到(4)的近似解析解由小参数问题还进一步引起大参数问题，亦称奇摄动问题（见常微分方程摄动方法）。但在实际的工程技术问题中很多参数既不能看作小参数，也不能看作大参数，而又要求近似解析解，这就需要脱开线性化、小参数、大参数而去寻求一般性的近似解析解的求法，于是产生了近似解析解的研究。

对近似解析解要求它在参数和变数的特定范围内满足三个条件：

（1）有简单的解析表达式。无限项相加形式的解是不实用的。

（2）解析表达式定性地正确（按问题的要求而定）。这是一般摄动方法中常遇到而没有明确意识到的问题。

（3）在给定的误差范围内与高精度的数值解可以定量地比较。亦即，误差概念要具体，抽象的O(1)及O(1)在工程上是不实用的，因为具体的问题都有必须满足的具体误差要求。

为了达到这三个要求，一般可采取下列五个步骤：

（1）量纲分析与相似理论的考虑。这主要是抓住物理问题本质，减少参数个数，某些时候可将偏微分方程简化为常微分方程，或将常微分方程简化为代数方程，亦即减少自变量的个数，从而大大方便近似解析解的寻求，并可极大地减少计算量。

（2）定性分析与全局图像的考虑。这主要是要了解相空间中轨线的全局定性图像，以及不同区域的定性特点。解的首项一般应当定性地正确，以后各项逐次作定量的修正。这是许多技巧成功或失败的关键一步。

（3）量级分析与粗估公式的考虑。具体问题按其具体数据都有大小之分，抓住主要矛盾，作出定性地正确，定量地合乎量级的粗的解析公式，并有意识地留下一些系数待定，以便进一步加以调整。

（4）数值分析与典型计算的考虑。利用计算机对典型参数组作精确数值计算，从中得到更多的信息，从而突破停留在小参数（或大参数）上的狭隘范围，为近似解析解的作法，提供了全新的途径。

（5）综合上述四步，即可减少参数及变量的个数，突出主要方面作出合乎定性及量级的粗的解析形式的解，再利用数值信息使粗公式修改为较精的公式，这样便作出了近似解析解。

下面举两个工程上的实际例子。

例1 求电解加工成型工艺中出现的一个微分方程的近似解析解。给定t对z的非线性常微分方程

(5)

及初始条件z=0，t=0。其中5个参数A，墹，R，φ，t1的量纲为 它们的变化幅度为0≤φ≤90°。要求在0≤t≤t1中函数 的近似解析解，其相对误差在10％以内。

引入无量纲化参数：

则(5)化为

由此得

(6)

初始条件为T=0，D=1。参数变化幅度为5≤α≤1000，0≤T1≤5，0≤φ ≤90°。这里α既不是小参数，也不是大参数，用上述五步法求得的近似解析公式为

相对误差在10％以内。

例2 求大型体育馆通风设计中出现的一个微分积分方程的近似解析解。给定非线性微分积分方程

(7)

初值x=0，y=0，变量x及y变化范围为0≤x≤50，0≤y≤30，参数A及θ0变化的范围为3×10-4≤A≤2×10-1，0≤θ0≤15°，要求y=y(x)及V=V(x)的近似解析解，其中

(8)

相对误差要求在10％以内。

将(7)对x微分，可化为常微分方程

(9)

初值为x=0，y=0，（由(7)得出）。其解为y=y(x；A；tanθ0)，这里A可以看成小参数，用一般小参数法求解。但是用求近似解析解的方法，则首先减少参数，不论其为大参数或小参数。或引入新变量

则(9)化为

初值为

得到解由此即得相似规律

因此只要研究A=1的情形，不管A是否为小参数。经五步法得到的近似解析解为

相对误差在10％以内。从例 2可以看出，即使有小参数，如能用相似理论消去，可以更简便且提高精确度。

从例1中还可以得到有限扰动法。例如，方程，x=0，y=0，要对x>0求解，其中α≠0，b<0，|ƒ(x，y)|≤K(常数)。这时，可利用扰动项 ƒ(x，y)的有限性，迭代求解。方法是取y0呏0，以及再用系列yn来逐次逼近y(x)。这种有限扰动法还可扩充到方程组。

参考书目

1. A. H. Nayfeh，Perturbation Methods， John Wiley & Sons， New York， 1973.
2. 秦元勋：常微分方程近似解析解的理论与实践，(Ⅰ)、(Ⅱ)，《计算机应用与应用数学》，1975、1978。