什么是柱的基本理论?

[拼音]：zhu de jiben lilun

[外文]：elementary theory of column

柱在轴向荷载作用下，由于荷载的偶然偏心，柱本身有初始弯曲，材质不均匀等原因，从加载开始时起即发生压缩与弯曲的组合变形，即使材料遵循胡克定律，但柱的横截面上的弯矩以及柱的侧向位移（挠度）均不与荷载成线性关系。柱的性能的理论研究可按两种不同类型的计算简图进行。在第一类简图中把柱视作本身有初始弯曲的杆或荷载有偏心的直杆，第二类简图则把柱视作理想中心压杆，即认为杆是绝对直的、材料绝对均匀、荷载亦无任何偏心。

两端铰支的柱作为偏心受压直杆时（图1a）。根据小刚度杆的计算理论，任意横截面上的弯矩为M=P(e+v)，式中M为弯矩；P为荷载；e为偏心距；v为任意横截面处杆的挠度。若杆的材料始终在线d性范围内工作，则由挠曲线近似微分方程EIv"＝－M＝－P(e＋v)可得杆的中点挠度δ与荷载P有如下非线性关系：

式中E为d性模量;I为惯性矩；L为杆长。图1b中的实线示出了上式所示的P-δ关系;当P→Pcr=π2EI/L2时，杆的挠度迅速增长，且以水平线AB为渐近线。事实上，挠度较大时就不能利用曲率的近似式1/ρ＝d2v/dx2，亦即不能利用挠曲线近似微分方程EIv"＝-M。如果利用曲率的精确表达式，则P-δ曲线将如图 1b中虚线所示。

把柱作为理想中心压杆时（图2a），若在分析中对杆不给予任何干扰，则P-δ曲线显然为图2b中的铅垂线OAD;假设杆受到微小的干扰而弯曲，则由曲率的精确表达式1/ρ＝dθ/ds所列出的微分方程为


，据此可求得P-δ曲线如图2b中实线OABC所示。由此可知，对于理想的中心压杆，当荷载P低于临界值Pcr时杆保持直线形式，此时如果杆受到微小的干扰而弯曲，则干扰除去后杆即恢复原有的直线形式，即 P<Pcr时平衡的直线形式是稳定的。当P＞Pcr时，理想的中心压杆有两种可能的平衡形式；直线形式和弯曲形式；而直线形式的平衡是不稳定的，杆在任何微小的干扰作用下发生微弯后，就会继续弯曲直至δ达到曲线ABC上与P相对应的值。当P＝Pcr时，直线OAD在A点与曲线OABC分叉，平衡是随遇的，微小的干扰除去后杆仍保持在干扰作用时的位置上。以上分析均假设材料始终在线d性范围内工作。事实上，当荷载达到如图2b中B点对应的值时，由于杆中最大应力达到d性极限而杆所能承受的荷载迅速减小， P-δ曲线将沿虚线BE下降。这就是说，细长的理想中心压杆所能承受的最大荷载仅稍高于临界荷载Pcr。由于确定最大荷载需要冗长的计算，而确定临界荷载比较简单，所以在工程计算中，常把临界荷载作为压杆所能承受的最大荷载。

根据理想中心压杆所得的临界力称为欧拉临界力。当压杆两端为铰支时，Pcr＝π2EI/L2。当端部约束条件不同时，柱的欧拉临界力的计算公式可统一写作

Pcr＝π2EI/(μL)2

式中μ为与端部约束条件有关的长度系数，μL称为相当长度（有效长度）。将上式两端除以柱的横截面面积 A所得的应力，称为欧拉临界应力

σcr＝π2EI/(μL)2A＝π2E/λ2

式中


称为柱的柔度，也称为柱的长细比。

求临界力和临界应力的欧拉公式按其导出的条件，只适用于临界应力σcr不超过材料的比例极限σp，即π2E/λ2≤σp的情况，也就是


即所谓细长柱的情况。对于λ<λp的中长柱和短柱，常采用经验公式计算临界应力。

参考书目

王启德著，林砚田等译：《应用d性理论》，机械工业出版社，北京， 1966。（Chi－Teh Wang， Applied Elasticity，McGraw-Hill，New York，1953.）