关于不适定问题数值解法介绍

[拼音]：bushiding wenti shuzhi jiefa

[外文]：numerical method for improperly posed problems

如果某个数学问题的解对定解数据的扰动极敏感，即不是连续地依赖于定解数据，则称该问题是不适定的。

在较长一段时间内，不适定问题被认为没有物理背景，因而没有引起足够的重视。最近几十年来，提出了不少具有实际意义的不适定问题，其数学理论和近似数值解法的研究也得到蓬勃的发展。

典型的不适定问题有：第一类算子(积分)方程、拉普拉斯方程的初值问题、热传导方程逆时向的初值问题、波动方程的狄利克雷问题、求解微分方程系数的反问题等等。

不适定问题可以看为极度病态的问题。在n 维欧氏空间中考察线性方程Au=ƒ，其中A是线性算子。设AA的特征值为1=λ1≥λ2≥…≥λn≥0。若A非奇异，则λn>0，方程有惟一解。但若λn很小，则此方程的条件数(1/λn)1/2很大，方程是病态的。现在在可分的希氏空间H中讨论这个方程。若λn>0，且当n→ 时，λn→0，则上述方程就是第一类算子方程。

设{ei}为AA的特征元素组成的完备基，则成立展开式，其中。此时方程的形式解为：

设，可知A-1仅定义在F上，亦即仅当ƒ∈F时，方程才存在解u=A-1ƒ。

如果已知定解数据ƒ的近似值为ƒδ，则可能，此时A-1ƒδ无意义，即方程无解。即使ƒδ∈F，此时虽存在，但由于A-1无界，也不能通过δ=‖ƒ-ƒδ‖加以估计。所以，直接求解 Auδ=ƒδ不能得到有任何确保精度的近似解。这就是求解不适定问题的困难所在。

为了求得具有一定精度的近似解，已经提出了许多有效的解法。20世纪60年代，苏联数学家A.H.吉洪诺夫提出的正则法是较为重要的一种。设R是D(R)→H的对称算子，D(R)在H中处处稠密，且存在常数c>0，对任意的v∈D(R)，成立(Rv，v)≥с(v，v)>0（在一般情况下，要求R 非负，且除了H 的一个有限维子空间外上式成立即可）。将满足

的极值点uδ作为对应于近似数据ƒδ的近似解。上述条件极值点uδ也是下列无约束极值问题

的解，其中α(δ)是拉格朗日乘子。由变分原理即得

由于AA+αR是对称正定算子，((AA+αR)v，v)≥αс(v，v)，所以其逆存在，。可以证明，当δ→0时，‖u-uδ‖→0。

正则法的实质在于，对原不适定问题中的算子附加一个适当的小扰动项αR，使之正则化（稳定化），即带有扰动项的问题是适定的。在不适定问题的许多有效解法中，都以某种方式体现了这种正则化思想。