学量子力学之前需要学哪些学科

量子力学中对微积分有一定的要求，主要是偏微分，特别是偏微分方程。（在数学物理方程的书里面有。主要是学会解常系数的二阶偏微分方程，其中的分离变量法及边值问题在解薛定谔方程的时候要用到。）

对数学的要求还有：复变函数，一些特殊的函数，如球贝塞尔函数、拉普拉斯函数、傅里叶变换等。（在《数学物理方法》的书里面都有）

但是最重要的还是要学好线性代数中的矩阵。对于矩阵的意义以及计算之类要理解透彻。（线性代数的课本里面都有的，最好是看理科的线性代数，因为理科和工科的要求是不同的。）

此外，还要学一下大学基础物理学，特别是里面的力学和电磁场的一些理论。其中力学中的角动量那一部分尤为重要。（推荐程守洙的《普通物理学》）

此外，还要学一下矢量与张量分析。

有了上面的那些就差不多了，也不一定要先学完上面的那些，一边看一边学咯，带着目的来学习的效率高很多。

量子力学，很有趣的一门学科。楼主慢慢去研习吧。

最后，引用我们老师的一句话：“当你认为你学会了量子力学的时候，其实你是没有了解量子力学。”

加油吧，楼主！

从初中到现在的学生生涯里，我感觉到，对于概念的理解在物理学习中是非常重要的，尤其是对一些核心概念的理解，如加速度，势能，波动，散射等。这些概念看似简单，而且在教材中反复出现。但就我自己的经历而言，我在学习这些核心概念的过程中，却遇到过很多的挫折。例如对平面电磁波（本科电磁学教材）的理解，我本科接触的时候自认为理解了，而且考试做题也基本正确。但当我在研一时再对平面电磁波的表达式进行解读时，却发现了一些以前不理解的东西。而且，核心概念通常又参与构成一些新的知识点（例如要理解光的干涉这个知识点必须建立在理解波动这个核心概念的基础上）。若对核心概念理解不足，将可能使得我们对后续的新知识的学习产生困难。

当然，对核心概念的理解是有层次之分的，到了什么层次才算理解到位了，不同人在不同的阶段有着不同的定义。

下面我将举几个实际的例子说明概念学习的重要性。

例子一：对于“波动”的理解将牵扯到对于“光的干涉”，“光的衍射”，“麦克斯韦方程组”，“德布罗意关系”，“布洛赫定理（固体物理中）”等等的理解。

例子二：对于“傅里叶变换”（这是一个数学概念）的理解将牵扯到对于“倒空间（固体物理中）”，“动量空间（量子力学）”等等的理解。

例子三：对于“正交”（即使这个概念看起来似乎很简单）的理解将牵扯到“傅立叶变换”的理解，进而牵扯到例子二上去。

例子四：对于“分布”（即使这个概念看起来似乎也很简单）的理解将牵扯到“玻尔兹曼分布（统计物理中）”，“麦克斯韦速率分布（热学中）”，“力学量的平均值（量子力学中）”，“散射截面（理论力学中）”，“波函数按本征函数的展开（量子力学中）”等的理解。

可见在知识的吸收过程中，概念学习扮演了重要的地位。在学习的过程中，我们不断地刷新对这些概念的认识，不断地产生疑惑，又不断地进行回答。

选自曾谨言

小记：从实空间到倒空间，是顺时针，乘上 。

对于普通的单色平面波有， 其傅里叶变换则有

如果是Gauss波包，其傅里叶变换也是一个波包。且波包宽度 和 之间满足不确定性关系。

除此以外，傅里叶变换可以保留波函数的归一化性质。

相速度： 等相面运动的速度

群速度： 波包中心的运动速度

总结：相速度是相位的移动速度，实际上就是振幅的传播速度。

而群速度是振幅的变化的移动速度，可以理解为波包的传播速度。

推广到de Brogile波，有 ，可得

发现，物质波的群速度就是经典粒子的运动速度。

同样，一个物质波可以看做一个波包，由多个单色平面波叠加而成。因此，根据de Brogile关系，可以认为

，能量（动量）是不确定的，具有一个分布。波包的概念天然得适应不确定性关系。

推导思路：

色散关系可以用Taylor展开式展开到二阶，代入到波包的单色平面波傅里叶展开式中。波包可以简单取Gauss波包(k空间)，得到最终 ，计算其强度分布 和宽度 ，发现宽度是随着时间不断增大的，即不断扩散。

基于这个结论，我们发现，物质波的色散关系是存在二阶项系数的，这就意味着，物质波包必然要扩散，这是反常理的。

波函数的统计诠释： 正比于在该点附近小体积元处找到粒子的概率，该统计诠释解决了物质波包扩散、单个电子波动性、粒子性与波动性统一的问题 。

实际上，电子表现出的粒子性只是其中一部分：即有确切的质量、电荷，但是并不意味着有确定运动轨道；电子的波动性也只是相干叠加性。

波函数根据统计诠释，有 归一化条件 ： 同时，由于我们更关注相对的概率分布，因此，通常表示为平方可积条件：

除了相对概率，波函数还存在 相位不定性 ，即系数乘上 依然是归一化的，所以我们认为相位有无，其都描述的是同一个概率波。

对于多粒子体系，其波函数表示为 ，即多维位形空间中的概率波。

入射粒子可以看做是一个物质波波包，由许多单色平面波叠加而成。而动量具有关系 ，

因此，我们可以将波函数进行平面波（按照动量）展开，有 其具有对应的逆变换就是 ， 就代表了波函数 中所含平面波 的成分。

实验实现粒子的动量分布测量 ：电子衍射实验有 ，即衍射出射角度 与入射粒子的动量 有关。而该动量的概率就是入射波的对应Fourier分波波幅 ，其越大，则衍射强度越大。所以我们可以根据衍射波谱得到衍射前粒子动量的分布概率。

德布罗意波函数是可以证明不确定性原理的方法之一。

根据德布罗意假说，物体是物质波，这性质称为波粒二象性。粒子的位置可以用波函数描述。假设这波函数的空间部分是单色平面波，以方程表示

；

其中，是波数，是动量。

玻恩定则（Born rule）表明，波函数可以用来计算概率，在位置与之间找到粒子的概率为

。

对于单色平面波案例，是均匀分布，这粒子的位置极端不确定，因为，它在与之间任意位置的概率都一样。

假设某波函数是很多正弦波的叠加：

；

其中，系数是动量为的粒子模态的贡献。

取连续性极限，波函数是所有可能模态的积分：

；

其中，是这些连续性模态的数值，称为动量空间的波函数。

以数学术语表达，的傅里叶变换是，位置与动量是共轭对偶。将这些平面波叠加在一起的副作用是动量的不确定性变大，是很多不同动量的平面波组成的混合波。标准差定量地描述位置与动量的不确定性。粒子位置的概率密度函数可以用来计算其标准差。使用更多平面波，可以减低位置的不确定性，即减低，但也因此增加动量的不确定性，即增加。这就是不确定性原理的概念。

Heroes in my heart里有个故事：著名数学家HWhitney本科时候学的是音乐。他完成学业后到欧洲大陆去玩，大概是到了 哥廷根，当时有一个很牛的物理学家（不是海森堡就是薛定谔）正在做一个关于量子力学的讲座。等讲座结束之后，Whitney什么也没听懂感觉极其不爽，于是找到了那个主讲的人，说，先生，我觉得你做的讲座很不成功。主讲的教授很纳闷，就问他说为什么。Whitney回答说，我可是 Yale 大学的优等的毕业生，你讲的东西我竟然听不懂，这难道不是你讲的有问题么。那个教授继续问，你是读什么专业的。Whitney 回答说,我是学小提琴的

教授大大的分特了，说这个我也没有办法，你要想懂的这些东西的话你应该学一点基础的课，于是告诉他这个世界上还有数学分析和线性代数等等

Whitney 回美国之后就开始发奋学习数学，据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了。当然他是非常刻苦的。

如果是为了高级科普，那就不要太在意计算的部分了，会很枯燥。

在这种情况下，其实不需要什么基础。数学上，看得懂微积分、对矩阵什么的有概念就可以了。例如碰到一个薛定谔方程，不必一定真得亲手去解，而只要能看得懂书上给出的解即可。物理上，不妨简单粗暴地无视掉“态”与“波函数”，或“矢量”与“列矩阵”，或“算符”与“厄米矩阵”之间的差别；多看看物理学史什么的，以便了解来龙去脉；或者多上网逛逛、多围观围观热心民科（此处无贬义）的讨论帖。

如果是为了从事研究，那就先把基本功练好，好好理解基本概念，比如上文所说的那些差别，还有全同性什么的。

也就是说，数学上，书上能解的方程你也要会解、线性代数要熟练；物理上，多辨析不同的概念。可以有各种奇怪的想法，但还是要避免太过于民科。

所谓“相关基础”的具体内容要看你的课程思路了。抱歉我没有看过斯坦福的量子力学公开课，所以不能有针对性地来说。我觉得目前主流的量子力学课思路有两条：一是从波动力学开始讲，二是从矩阵力学开始讲。

如果是波动力学的思路，那么这样的量子力学课程一般就会是“叫兽教你解薛定谔方程”的样子了。那么它的数学基础就是解！方！！程！！！这就要熟悉“数学物理方程”这方面的内容。当然不用学其中的全部，对于入门级的量子力学来说，搞定厄米多项式（谐振子里会用到），勒让德多项式、连带勒让德函数、球谐函数（氢原子里会用到，确切地说是球坐标系下几乎到处都是这些东西），贝塞尔函数、球贝塞尔函数等等。所谓“搞定”指的是你必须知道它们是那一类方程的解，它们有什么递推性质，它们的积分怎么算等等。还有，傅里叶变换要会用，不过暂时不用太学仔细。

以上所说的是薛定谔方程可以精确求解时的情况。如果没有精确解或者很难求出精确解，那这时就会用到“微扰论”了。我个人认为所谓的“微扰论”只不过是求方程近似解的一种特定的数学手段罢了，不是什么物理内涵丰富的东西。“微扰论”其实也不过就是解微分方程，但是需要用到比较多的线性代数内容。就是说要对矩阵运算、矩阵的本征值与本征矢量、线性空间的不变子空间等等等等（没太大的把握说得很详尽）的概念很熟练。当然不熟也没事，只不过算东西会走弯路，增大计算量。举个例子，氢原子的Stark效应如果用笨办法硬算的话够你算三天了，但如果线性代数技巧过关的话一般20分钟出结果。

在波动力学的思路下当然也会涉及到一些矩阵力学的内容。那些的数学基础也是线性代数为主吧。

如果是矩阵力学的思路，那刚开始时会线性代数就够了，不过必须非常熟练。几乎不用解那些层出不穷的乱七八糟的方程了。当然最基本的微积分肯定不能少。后期可能会碰到一些群论的内容，但那不是所谓的“基础内容”了，一般书上都会对它将要用到的群论知识有所讲解，所以用到时再学即可，不必特地学完群论再来看量子力学。

以上是数学方面的内容，接下来说物理。

物理上，很多人都说波动力学更像经典力学，出于一些诸如“都是用微分方程解运动规律”之类的理由；而相比之下矩阵力学的框架体系与经典力学差的很远，所以难以上手。

我个人认为，这些理由根本都是扯。从我个人的经历与感受来看，要学就直接从矩阵力学开始学起。一旦接受了这种设定，它理解起来并不比波动力学困难；而且我觉得矩阵力学更深刻。当然我不清楚斯坦福的量子力学公开课是哪种思路，无论它用的是哪种思路想必都有其一定的合理性。

波动力学入门时要掌握的概念：波粒二象性，波函数的统计解释（这两者在初学时挺不好理解的，但是一旦接受了这种设定之后就会觉得它们是很显然的废话），态叠加原理，不确定原理，力学量的算符表示，然后就可以有薛定谔方程了。

矩阵力学：态，希尔伯特空间（好吧这其实可以算是数学内容），力学量算符（好吧这也是数学）等等。矩阵力学的抽象化程度更高，也就更数学化一点。多辨析物理量与其表象之间的联系与区别，比如说要能分辨出“波函数不是态，而是坐标表象下态矢量与基矢的内积”这样的表述是对是错。

以上这些更多的是回到数学了。因为物理实质上矩阵力学与波动力学是相通的，所以需要的物理基础也是相同的，只不过用到的顺序不一定一样罢了。

对于（初等）量子力学学习经验总结：

我把量子力学分为6个部分吧：薛定谔方程与波函数，势阱束缚态与势垒散射态，厄米算符与力学量，轨道与自旋角动量，氢原子与原子光谱，微扰论

各部分需要的必备先修知识如下（括号中的不必备但能让理解更方便）：

薛方程：波动光学，常微分方程

势场：常微分方程，（数理方法）

算符：线性代数

角动量：线性代数

氢原子：数理方法，（高中化学）

微扰论：高等数学

好像都集中在数学 经典物理对量子力学的帮助不是很大