用Matlab画出随机的正弦波信号的自相关函数和功率谱密度曲线

clear all;

close all;

warning off all;

Fs = 1000;

nfft=1024;

idx = 0:round(nfft/2-1);

k = idxFs/nfft;

t = 0:1/Fs:1;

x1 = rand(1,1001);

[cor1 lag1] = xcorr(x1,'unbiased');

figure(1);

subplot(211),plot(lag1/Fs,cor1),title('(0,1)均匀分布自相关函数');

Xk1 = fft(cor1,nfft);

Px1 = abs(Xk1);

subplot(212),plot(k,10log10(Px1(idx+1))),title('(0,1)均匀分布功率谱密度');

在研究与分析问题中经常会遇到三种随机序列，下面分别进行介绍。

1281 正态（高斯）随机序列

正态随机序列x（n）的N维联合高斯分布的概率密度函数为

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式中

X=［x1，x2，x3，…，xN］T，μ=［μx1，μx2，μx3，…，μxN］T

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式（1-54）表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量μ以及方差阵∑。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯-马尔可夫（Gauss-Markov（Марков））过程。这种信号的自相关函数和功率谱密度函数分别为

rxx（m）=σ2e-β｜m｜ （1-55）

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高斯——马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m→∞时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，随机过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。

1282 白噪声序列

如果随机序列x（n），其随机变量是两两不相关的，即

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式中

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则称该序列为白噪声序列；如果白噪声序列是平稳的，则

cov（xn，xm）=σ2δnm （1-58）

式中σ2是常数。设均值μxn=μ=0，其功率谱Pxx（ejω）=σ2，在整个频带上功率谱是一个常数。“白噪声”的名称由牛顿提出，他指出，白光包含了所有频率的光波，而在这里，功率谱Pxx（ejω）在整个频带上是一个常数，说明白噪声的功率谱是包含所有频率成分的序列。

如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称之为正态（高斯）白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想白噪声，一般只要信号的带宽大于系统的带宽，且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定，便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。

1283 谐波过程

谐波过程的描述如下：

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式中Ai、ωi均为常数，θi是一独立随机变量，在（-π，π］内服从均匀分布，即

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可以证明，这种谐波信号模型是平稳的，设N=1时，有

x（n）=A cos（ωn+θ）

它的统计平均值和自相关函数

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rxx（n+m，n）=E［x［n+m］x（n）］

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由于谐波过程的统计平均值与时间n无关，自相关函数仅与时间差m有关，谐波过程是平稳的。

当N大于1时，也有同样的结论，可以证明：

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