离散型常见分布有哪些

互为对偶的离散型分布与连续型分布，可以看作是由同一个函数——源函数产生的。源函数的正线性组合、乘积和负导数，仍然是源函数。源函数揭示了互为对偶的分布的分布函数之间的相互关系，并能用来求随机变量的数字特征、特征函数、概率母函数、分布的最大值和参数的极大似然估计．

C(u)=E(juX)=1/√(2π)∫{-∞,+∞}e^(jux-x²/2)dx，直接积分较困难

由于d[e^(jux-x²/2)]/dx=(ju-x)e^(jux-x²/2)，因此先考察下列积分：

1/√(2π)∫{-∞,+∞}(ju-x)e^(jux-x²/2)dx

=1/√(2π)∫{-∞,+∞}e^(jux-x²/2)d[e^(jux-x²/2)]

=1/√(2π)e^(jux-x²/2)|{-∞,+∞}

=1/√(2π)[cos(ux)/e^(x²/2)+jsin(ux)/e^(x²/2)]| {-∞,+∞}

=0 ①

①式为零是因为有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量

而1/√(2π)∫{-∞,+∞}jue^(jux-x²/2)dx

= ju1/√(2π)∫{-∞,+∞}e^(jux-x²/2)dx

= juC(u) ②

注意到C(u)对u求导得

C’(u) =1/√(2π)∫{-∞,+∞} jxe^(jux-x²/2)dx，

故1/√(2π)∫{-∞,+∞}xe^(jux-x²/2)dx

=(-j)1/√(2π)∫{-∞,+∞} jxe^(jux-x²/2)dx

=(-j)C’(u) ③

由①②③式得

juC(u)+jC’(u)=0，即

C’(u)+uC(u)=0 ④

将微分方程④分离变量d[C(u)]/C(u)=-udu

两边积分lnC(u)=-1/2u²+lnC

整理得C(u)=Ce^(-1/2u²)

将初始条件C(0)=1代入上式得，C=1

故C(u)=e^(-1/2u²)

随机变量没有特征函数。 随机变量分离散型和连续型。离散型随机变量的值是有限个，主要包括两点分布，二项分布，超几何分布等几种。 连续型随机变量没有值，只有概率密度函数。因此，要判断是离散型还是连续型，看其是具有概率密度函数，还是具有随机变量的值。 常见的有指数分布，均匀分布，正态分布

在求两个或多个随机变量和的分布时，需要用到卷积公式如果要求n个相互独立的随机变量和的分布时，就要算n-1次卷积,这是一件很麻烦的事情。由于在各个领域都经常需要用到多个随机变量和的分布，因此找到一种快速有效的方法是非常重要的。

幸运的是，经过人类不断地探索和研究,终于发现特征函数。这个有力的工具,可以高效地获得多个独立随机变量和的分布。应用特征函数来获得多个相互独立的卡方分布随机变量和的概率密度函数，以及概率密度函数的近似表达式

关于函数：

在概率论中，特征函数的益处体现在：任意分布与它的特征函数一一对应；两个独立随机变量之和的特征函数就是它们二者特征函数的积；特征函数在零点附近收敛 == 分布函数弱收敛(Levi continuous theroem)。

比如f(xy)=f(x)+f(y)没有给出具体的函数表达形式，只是给出了相应的函数性质，是一个抽象函数。而满足该性质的一个具体函数被称为特征函数，比如 f(x)=ln(x)

就是它的一个特征函数，观察函数性质可知该特征函数集合是对数函数。

以上内容参考   函数

取 X 表示柯西分布随机变量，则柯西分布的特性函数表示为： 

Φx(t;X0,γ)=exp(iX0t-γt的绝对值) 

如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话，那么比值 U/V 为柯西分布。

柯西分布是一个数学期望不存在的连续型分布函数，它同样具有自己的分布密度，满足

分布函数F(X)=1/2+1/πarctanx,-∞<x<+∞

密度函数ф(x)=1/[π(1+x^2)],-∞<x<+∞

的称为标准柯西分布。

记为C(θ,α)。

对X有柯西分布C(θ,α), 令Y=(X-θ)/α， 则称Y有C(0,1)分布。对于C(0,1)分布称为标准的柯西分布。正态分布也有类似的性质。

柯西分布有两个参数θ、a， 概率密度函数pdf的图形亦为钟形，不仔细看, 还不容易与正态分布pdf的图形区别。插图中，我们把柯西分布和正态分布的pdf之图形放在一起比较。可发现,，柯西分布pdf之图形下降至0的速度慢很多。