几何分布的期望和方差公式推导是什么？

几何分布的期望是1/p，方差公式推导为s^2=[（x1-x）^2+（x2-x）^2+（xn-x）^2]/（n），其中x为平均数。

相关介绍：

几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的几率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。

在伯努利试验中，成功的概率为p，若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量，它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0<p<1)，此时称随机变量ξ服从几何分布。它的期望为1/p，方差为(1-p)/(p的平方)。

求几何分布的期望公式：Eε=1/p。在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

超几何分布计算公式：E(X)=(nM)/N[其中x是样本数，n为样本容量，M为样本总数，N为总体中的个体总数]，求出均值，这就是超几何分布的数学期望值。

方差公式是V(X)=X1^2P1+X2^2P2+Xn^2Pn-a^2[这里设a为期望值]。超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

相关定义：

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

扩展资料：

在统计学中，当估算一个变量的期望值时，一个经常用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得数据的平均值来作为此变量的期望值的估计。在概率分布中，期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。在经典力学中，物体重心的算法与期望值的算法十分近似。

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。 

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

问题一：几何分布的期望与方差公式怎么推导 Dξ=∑(ξ－Eξ)^2Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2ξEξ)Pξ

=∑(ξ^2Pξ＋Eξ^2Pξ－2PξξEξ)

=∑ξ^2Pξ＋Eξ^2∑Pξ－2Eξ∑Pξξ

因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξPξ

所以Dξ=∑ξ^2Pξ－Eξ^2

而∑ξ^2Pξ，表示E(ξ^2)

所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

下面计算几何分布的学期望，

Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p

Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p ①

当然

(1-p)Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^ξp

(1-p)Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ②

①－②得

pEξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)p

所以

Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)

=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)

=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p

=1/p

若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，

其中E(ξ^2)的计算过程如下：

E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)－E丹=∑{ξ=1，∞}ξ^2(1-p)^(ξ-1)p －∑{ξ=1，∞}ξ(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ①

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^ξp

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(ξ-2)(1-p)^(ξ-1)p ②

由①得

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p ③

③－②得

pE(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2(ξ-1)(1-p)^(ξ-1)p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2(ξ-1)(1-p)^(ξ-1) ④

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋2∑{ξ=2，∞}(ξ-1)(1-p)^ξ

(1-p)E(ξ^2)=(1-p)/p＋2∑{ξ=3，∞}(ξ-2)(1-p)^(ξ-1) ⑤

由④得

E(ξ^2)=1/p＋2(1-p)＋2∑{ξ=3，∞}(ξ-1)(1-p)^(ξ-1) ⑥

⑥－⑤得

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1)

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2lim{x→∞}(1-p)^2[1-(1-p)^x]/p

pE(ξ^2)=1＋2(1-p)＋2(1-p)^2/p

E(ξ^2)=1/p＋2(1-p)/p＋2(1-p)^2/p/p

=1/p＋2(1-p)/p/p

=(2-p)/p>>

问题二：超几何分布的期望与方差公式怎么推导 期望值有两种方法： 1 最笨的，也就是把每种情况（就是拿到0，1，2，3，4，5，6，7个指点球）都算出来[超几何分布计算公式：p(x=r)=(Cm rCN-M n-r)/CNn，C是组合数，m与r分别是下标与上标，这里不好打出来]。然后写出概率分布列，将每一纵行的P(x=r)与r相乘，所求结果相加，即可得出期望值。 2 还有一种就是简单的公式法，E(X)=(nM)/N [其中x是指定样品数，n为样品容量，M为指定样品总数，N为总体中的个体总数]，可以直接求出均值。 方差也有两种算法（都是公式法）： 1这里设期望值为a,那么方差V(X)=（X1-a）^2P1+(x2-a)^2P2++(Xn-a)Pn。 2另一种是V(X)=X1^2P1+X2^2P2+Xn^2Pn-a^2 [这里同样设a为期望值]

问题三：随机变量服从几何分布，求期望与方差的具体步骤 你好！几何分布的期望与方差计算要用到级数求和，过程如图。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

由题知g（X；p）=p(1-p)^(X-1)

∴L（p）=p(1-p)^(X1-1)p(1-p)^(X2-1)…p(1-p)^(Xn-1)=p^n(1-p)^∑(Xi-1)

ln L(p)=n ln p+∑(Xi-1) ln(1-p)

d ln L(p)/d (p)=n/p-∑(Xi-1)/(1-p)

令d ln L(p)/d (p)=0,即n/p-∑(Xi-1)/(1-p)=0,∴p=1/（!daoX-1）

即 p=1/（!X-1）为p的最大似，然估计值

注明下 ∑（Xi-1)表示对（X1-1）到(Xn-1)求和

a^b表示a的b次方

(!X)表示X的平均值

p=1/（!X-1）中p的头上面应该加上^

扩展资料：

最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

一旦获得，就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于 θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。

-最大似然估计