设随机变量X的分布函数为如下：

这是离散型随机变量的分布函数，由分布函数得随机变量X的分布律如下：

P(X=-5)=1/5

P(X=-2)=3/10-1/5=1/10

P(X=0)=1/2- 3/10=1/5

P(X=2)=1-1/2=1/2

所以P(|X|<3)=P(-3<X<3)=P(X=-2)+P(X=0)+P(X=2)=1/10+1/5+1/2=4/5

一、从数学上看，分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。

概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx，即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。

换句话说，概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。

二、一元函数下

概率分布函数是概率密度函数的变上限积分,就是原函数

概率密度函数是概率分布函数的一阶导函数

多元函数下

联合分布函数是联合密度函数的重积分

联合密度函数是联合分布函数关于每个变量的偏导

三、概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型；

已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。

对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函数；当然，当知道其分布函数时也可求出概率分布。

数学期望是int(xf(x))f(x)是随机变数x的概率密度函数如x为标准正态分布,f(x)=1/sqrt(2pi)exp(-x^2/2)x的期望为int(xf(x))=int(x/sqrt(2pi)exp(-x^2/2))