附录、DFT,DTFT,DFS,FT,FS-草稿

DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱。

DFT的快速算法——快速傅里叶变换(FFT)的出现使得DFT这种分析方法具有实用价值和重要性。

DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱。

时域非周期-频域连续

时域周期-频域离散;

时域连续 - 频域非周期

时域离散-频域周期。

FT、FS、 DTFT、 DFS、 DFT看着有点晕，有没有迷糊？感觉这之间有联系，但又说不出一二，是不是

首先我们从傅里叶级数开始说起。通俗理解就是周期函数（三角函数）的叠加。

回顾傅里叶级数：

Fourier series :A Fourier series is an expansion of a periodic function as an infinite sum of orthogonal sine and cosine functions, each with an integer number of periods in the period of the function

通过三角函数正交性取出a_n和b_n

三角函数正交性：

如果两个函数ψ1(r)和ψ2(r)满足条件：∫ψ1(r)ψ2(r)dτ=0,则称这两个函数相互正交

什么是负频率？

根号-1等于多少？虚数i是如何表示旋转的

奈奎斯特无损采样定理

做n个点的FFT，表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析，n点FFT变换的结果仍为n个点。

频率：是单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量，常用符号 f 或 ν 表示，单位为秒分之一，符号为s -1 。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献，人们把频率的单位命名为赫兹，简称“赫”，符号为Hz。

f = 1/T hz ; 角频率 w=2pi/T rad/s

角频率：在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示。频率的2π倍叫角频率，即 w =2pif = 2pi/T

例： 采样率=1600 hz ，采样周期 1/1600 s

如何讲离散信号FFT后求原始信号的周期？

如何获取FFT序列中每个点的频率值？

FFT（快速傅里叶变换）中频率和实际频率的关系

傅立叶级数总结

傅立叶(Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830)

法国数学家,物理学家1768年3月21日生于欧塞尔, 1830年5月16日卒于巴黎9岁父母双亡,被当地教堂收养 12岁由一主教送入地方军事学校读书17岁(1785)回乡教数学,1794到巴黎,成为高等师范学校的首批学员, 次年到巴黎综合工科学校执教1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书,1801年回国后任伊泽尔 省地方长官1817年当选为科学院院士,1822年任该院终身秘书,后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委 员会主席主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文,推导 出著名的热传导方程,并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示 ,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题,成为分析学在物理中应用的最早例证之一,对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响 傅立叶级数(即三角级数),傅立叶分析等理论均由此创始其它贡献有:最早使用定积分符号,改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数的判别法等

欧拉的故事

1707年4月15日,莱昂哈德·欧拉诞生在瑞士巴塞尔城的近郊父亲是位基督教的教长,喜爱数学,是欧拉的启蒙老师

欧拉幼年聪明好学他父亲希望他"子承父业",但欧拉却不热衷于宗教1720年,13岁的欧拉进入了巴塞尔大学,学习神学,医学,东方语言由于他非常勤奋,显露出很高的才能,受到该大学著名数学家约翰·伯努利教授的赏识伯努利教授决定单独教他数学,这样一来,欧拉同约翰·伯努利的两个儿子尼古拉·伯努利和丹尼尔·伯努利结成了好朋友这里要特别说明的是,伯努利家族是个数学家庭,祖孙四代共出了十位数学家

欧拉16岁大学毕业,获得硕士学位在伯努利家庭的影响下,欧拉决心以数学为终生的事业他18岁开始发表论文,十九岁发表了关于船桅的论文,荣获巴黎科学院奖金以后,他几乎连年获奖,奖金成了他的的固定收入欧拉大学毕业后,经丹尼尔·伯努利的推荐,应沙皇叶卡特琳娜一世女王之约,来到俄国的首都彼得堡在他十六岁时担任了彼得堡科学院的数学教授

在沙皇时代,生活条件较差,加上欧拉夜以继日的工作,研究,终于在1735年,得了眼病,导致右眼失明

1741年,欧拉因普鲁士国王的邀请到柏林科学院供职兼任物理数学所所长1759年,欧拉成为柏林科学院的***1741～1766年这四分之一世纪间,欧拉精神虽不是十分愉快,但他正值壮年黄金时代,为柏林与圣彼保这两个科学院提交了几百篇论文特别是,他成功地将数学应用于各种实际科学与技术领域,为普鲁士王国解决了大量社会实际问题

欧拉59岁时,因沙皇女王叶卡特琳娜二世诚恳地聘请,欧拉重回彼得堡在一次研究计算慧星轨道的新方法时,旧病复发,导致仅有的左眼失明

灾难接踵而至,1771年彼得堡一场大火,次欧拉的藏书及大量研究成果都化为灰烬接二连的打击,并没有使欧拉丧失斗志,他发誓要把损失夺回来眼睛看不见,他就口述,由他儿子记录,继续写作欧拉凭着他惊人的记忆力和心算能力,一直没有间断研究,时间长达十七年之久

欧拉对数学的贡献是巨大的1748年在瑞士洛桑出版了《无穷小分析引论》,这是第一部沟通微积分与初等数学的分析学著作1755年发表了《微分学原理》,1768年～1774年发表了《积分学原理》,这对牛顿和莱布尼茨的微积分与傅立叶级数理论的发展起了巨大的推动作用1774年发表了《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书,使变分法作为一个新的数学分支诞生了欧拉还是复变函数论的先驱者他在数论研究上也卓有功绩的如著名的哥德巴赫猜想,就是他在1742年与哥德巴赫的通讯中,引深生发提出来的1770年失明后欧拉,口述写了《代数学完整引论》,成为欧洲几代人的教科书欧拉在概率论,微分几何,代数拓扑学等方面都有重大贡献,欧拉在初等数学的算术,代数,几何,三角学上的创见与成就更是比比皆是,不胜枚举根据已经出版的欧拉书信与手稿集来看,其中数学所占的比例为40%,位居首位从这些手稿中可以发现,欧拉成就最鲜明的特点是:他把数学研究之手伸入自然与社会的深层他不仅是杰出的数学家,而且是理论联系实际的巨匠他着眼实践,在社会与科学需要的推动下从事数学研究,反过来,又用数学理论促进各门自然科学的发展

还有一点值得一提的是,欧拉对数学符号的创立及推广的贡献比如用 e 表示自然对数的底,用 i 表示,用 f(x) 作为函数的符号,π虽不是欧拉首先提出的,但是在欧拉倡导下推广普及的同时,欧拉非常重视人才,奖掖后生法国著名的数学家拉格朗日就是在欧拉的提拔之下,一举成名

瑞士的埃米尔·费尔曼是这样评价欧拉的:欧拉不仅是历史上最有成就的数学家,而且也是历来最博学的人之一……其声望而言,堪与伽利略,牛顿和爱因斯坦齐名

傅立叶级数最初应用在天文学中,这是由于太阳系的行星运动是周期性,欧拉于1729年解行星问题时就得出了这方面的一些结果,到1829年狄里赫莱第一次论证了傅立叶级数收敛的充分条件

一,问题的提出

非正弦周期函数:矩形波

不同频率正弦波逐个叠加

二,三角级数及三角函数系的正交性

正弦函数是一种常见的而简单的函数,例如描述简谐振动的函数

y=Asin(t+)就是一个以为周期的正弦函数其中y表示动点的位置,t表示时间,A为振幅,为角频率,为初相

在实际问题中,除了正弦函数外,还回遇到非正弦函数,它们反映了叫复杂的周期运动例如电子技术中常用的周期为的矩形波

具体的说将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数组成的级数来表示,记为

(1)

其中都是常数

将周期函数按上述方式展开,它的物理意义是很明显的,这就是把一个比较复杂的周期运动看成许多不同运动 的叠加,为了 以后讨论方便起见,我们将正弦函数按三角公式变形得

并令则(1)式右端的级数就可以写成

(2)

一般的,型如(2)的式的级数叫三角级数,其中都是常数

如同讨论幂级数是一样,我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题,以及给定周期为2的周期函数如何把 它展开成三角级数(2)为此,我们首先介绍三角函数系的正交性

所谓三角函数系

(3)

在区间上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零,即

以上等式,都可以通过计算定积分来验证,现将第四式验证如下

利用三角学中积化合差的公式

当kn时,有

其余不证

在三角函数系(3)中,两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零,即

三,函数展开成傅立叶级数

1若以为周期的函数可展为三角函数,即

, (4)

我们假设上式可以逐项积分

先求,对上式从到逐项积分:

根据三角函数(3)的正交性,等式右除第一项,其余都为零,所以

于是得

其次求用乘(4)式两端,再从到逐项积分,我们得到

根据三角函数系(3)的正交性等式右端除k=n的一项处,其余各项均为零,所以

于是得

如果(5)式的积分都存在,这时它们的系数叫函数的傅立叶系数,将这些系数代入(4)式右,所得的三角级数叫做傅立叶级数

2(Diriclilet收敛定理) 设是周期为的周期函数,如果它满足:

⑴ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

⑵ 在一个周期内至多只有有限个极值点,

则的傅立叶级数收敛,且当是的连续点时,级数收敛于;当是的间断点时,级数收敛于

Diriclilet收敛定理的证明:

贝塞尔不等式

设函数在区间上是连续的或至多有有限个第一类间断点而

是任意一个"n次"三角多项式,式中是常数现在要来确定这些常数,使得平方平均偏差

为最小为此目的,我们先计算这个偏差的显表达式,因为

容易得到

其中是函数f(x)的傅立叶系数而积分

其中右端第二个积分中的被积函数是下面这些形式的函数的线性组合

由于三角函数的正交性,它们在区间上的积分都为零,故得

于是就有

若在等式的右端同时加减如下的和

则它又可以写成

由此可见,当最后和式的各项为零时,即当

时,为最小

由于,于是推知

这就是著名的贝塞尔不等式

由于收敛级数的通项当n无限增大时趋近于零即

以为周期的函数的Fourier级数的部分和

将Euler-Fourier公式

带入上式

当时,由三角函数的积化和差公式,有

而当时,若将右端理解位的极限,则等式依然成立因此,上式对任意都是正确的

这样,就把部分和转化为积分形式,这个积分称为Dirichlet积分,是研究Fourier级数敛散性的重要工具

将积分区间分成和,稍加整理,就得到了Dirichlet积分的惯用形式

由前面的三角函数关系式,有

,

因此,对任意给定的函数,有

,

这样,若记

则的Fourier级数是否收敛于某个就等价于极限

是否存在且等于零

推论1(局部性原理) 可积且绝对可积函数f(x)的Fourier级数在x处是否收敛只与f(x)在区间上的性质有关,这里是一个任意小的正常数

证 由于对任意的,在可积且绝对可积,由Riemann引理,

因此,若将的积分区间分成和两部分,则由积分和极限的性质,当时的敛散性显然只与

有关,而这个积分只涉及f(x)在区间上的性质

推论2 设函数在区间可积,则成立

由以上推论告诉我们,如果能找到适当的,使得对于充分小的定数,有

,

则f(x)Fourier级数必定收敛于这个

在绝对可积,就可以由Riemann引理导出上面的结果

例1 已知,求

⑴ 设的周期为,将展开为傅立叶级数;

⑵ 证明

解

⑴

从而有

⑵ 令,有

令,有

注:利用周期函数的定积分性质,有

3,正弦级数和余弦级数

当为奇函数时,是奇函数,是偶函数,故

(5)

即知奇函数的傅立叶级数是含有正弦项的正弦级数

(6)

当为偶函数时,是偶函数是奇函数故

(7)

即知偶函数的 傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数

(8)

例2 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数

解 先求正弦级数为此对函数进行奇延拓按公式(5)有

将求得的代入(6)得

在端点及处级数的和显然为零,它不代表原来函数的值

再求余弦级数为此对进行偶延拓按公式(7)有

将所求得的代入余弦级数(8)得

4若的周期为,则有

,

其中

(只需作变量代换,由2可得)

5当为奇函数时,,其中

当为偶函数时,,其中

6当定义在上时

要先对进行奇偶延拓,再周期延拓可将展开成正弦级数或余弦级数

小结:

函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的,对非周期函数,甚至只是定义在上的函数,当它在上满足狄氏条件时,它的傅立叶级数在上收敛,而且由于其各项都有周期,故在上都收敛,其和函数是上的以为周期的函数在之外与一般是不同的但是,如果把定义在上的函数按周期延拓到数轴所有点上去,得到一个以为周期的新的函数,并且仍用表示这个新的函数,那么在整个数轴上就应有展开式:

,

若是的连续点,上式左边即是

傅立叶级数,作为一种函数的解析表达式,消除了初等函数和用几个式子联合分段表达的函数之间的界限——他们都融合成为一类无穷多项表达式了这里,第一次用一个正交函数系中的函数作为函数项级数的项去表达一个函数,把函数在一个完备的正交函数系中进行分解是近代数学中一项很有意义的发展

需要正交且完备，如果这两个条件满足就行。比如你说的这个情况，如果满足条件，也可以（未具体证明，可能不满足正交完备性条件），但不叫傅里叶级数，而且傅里叶级数应用范围很广，你这个展开没有应用场合，那就没啥意义。

有

133 有效值、平均值和平均功率 1 三角函数的性质 正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 k整数 sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 下 页 上 页 返 回 三角函数的正交性 下 页 上 页 返 回 2 非正弦周期函数的有效值 若 则有效值: 下 页 上 页 返 回 下 页 上 页 返 回 设： 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。 结论 下 页 上 页 返 回 3 非正弦周期函数的平均值 若 其平均值为： 下 页 上 页 返 回 正弦量的平均值为： 4非正弦周期交流电路的平均功率 利用三角函数的正交性得： 下 页 上 页 返 回 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率 结论 下 页 上 页 返 回 134 非正弦周期电流电路的计算 1 计算步骤 对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、L 相于短路。） 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号； 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。 下 页 上 页 返 回 2 计算举例 例1 方波信号激励的电路。求u, 已知： t T/2 T 解 (1) 方波信号的展开式为： 代入已知数据： 0 下 页 上 页 R L C 返 回 直流分量： 基波最大值： 五次谐波最大值： 角频率： 三次谐波最大值： 下 页 上 页 返 回 电流源各频率的谐波分量为： （2） 对各次谐波分量单独计算： （a) 直流分量 IS0 作用 电容断路，电感短路 下 页 上 页 R 返 回 （b)基波作用 XL>>R 下 页 上 页 R L C 返 回 (c)三次谐波作用 下 页 上 页 R L C 返 回 (d)五次谐波作用 下 页 上 页 R L C 返 回 (3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：