学科数学与科学数学的差异

一、数学分析 1多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系 2 一元函数及多元函数的差异和统一: 探讨一元函数及多元函数在邻域定义、极限连续性、可微性等方面的差异并在某种条件下将两者统一起来 3求极值的若干方法 4关于极值与最大值问题 5求函数极值应注意的几个问题 6 证明积分不等式的若干方法： 1） 利用黎曼积分性质证明积分不等式 2） 利用多重积分正定性质证明单积分的不等式 3）利用Jensen不等式证明积分不等式 4） 通过有穷不等式,经极限运算转化 5）利用凸函数性质证明积分不等式 6）其它方法 7导数的运用 8泰勒公式的几种证明法及其应用： 论述泰勒定理在不等式的证明，行列式的计算，定积分的计算和金融数学债券定价中的应用。 9利用一元函数微分性质证明超越不等式 10利用柯西——施瓦兹不等式求极值 11函数列的各种收敛性及其相互关系 12复合函数的连续性初探 13关于集合的映射、等价关系与分类 14 介值定理及其应用： 1 满足介值定理的函数构造方法讨论 2 利用介值定理讨论根的存在性 3 利用介值定理求数列极限 4 利用介值定理证明不等式 5 利用介值定理证明数列的单调性 6 其它应用 15 积分函数的极限问题： 主要讨论可变上限定积分,含参变量积分所定义的函数的极限问题讨论了 1 利用辅助函数法求极限 2 黎曼引理,利用黎曼引理求极限 3 黎曼引理的推广,利用推广的黎曼引理求极限 4 利用迫敛性定理求极限 5 利用积分中值定理求极限 6 其它方法 16．关于积分中值定理的推广和“中间点”的渐近性研究 17 广义Lagrange中值定理的“中间点”的渐近性研究 Lagrange中值定理：若函数 在区间 上连续，在 内可导，则存在 ，使得 因为Lagrange中值定理是连接函数与导数的桥梁，在分析理论研究和应用中有着十分广泛的应用。 本文的工作目标是： （1）将函数 在 内的可导条件减弱成为 在 内的任意点 的左、右导数都存在，得到一个包含 Lagrange中值定理的更一般的结论。 （2）在第（1）工作目标的基础上，进一步讨论中间点的渐近性问题。并将一般条件下的Lagrange中值定理的“中间点”的渐近性问题和已有的一些结论推广到（1）中所获得的“广义Lagrange中值定理”上去。 18 利用导数证明不等式： 导数是高等数学里一个很重要的基本概念，其应用相当广泛。本文主要利用与导数相关的中值定理、泰勒公式、单调性和最值、凹凸性等证明一些不等式。 19 等价无穷小代换的推广与应用： 用等价无穷小量作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的重要方法论文要求推广相关文献的结果,同时要求给出这些结果的证明和应用从而为计算极限提供 20 凸函数的几个等价定义 21关于隶属函数的一些思考 22多元复合函数微分之难点及其注意的问题 23 利用泰勒展式求函数极限 24定积分在物理学中的应用 25 Gamma函数和Beta函数的性质及应用 26 梯度、散度和旋度1讲清物理背景 2．阐明内在联系 3．论证主要性质 27谈微分中值公式的应用 28求极限的若干方法点滴 29试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系 30不定积分中的辅助积分法点滴 31 对称性与积分计算研究 32 用微积分理论证明不等式的若干方法 33 级数收敛性判别法的方法研究 34 数列与函数的上、下极限及其应用 35 与连续性相关的多个概念联系与应用 36 仿照一元函数的凹凸性定义并研究多元函数的凹凸性 37 讨论上(下)半连续函数,左(右)连续函数的性质 38 微分中值定理的证明及应用 39 多元函数连续，偏导数存在与可微性之间的关系 fx,ab,ab,abfbfafba  fx,abfx,abx40 几个函数一致连续的充要条件 41 利用级数求极限 42 一致收敛性判别法总结（函数项级数及无穷广义积分） 43 有界非连续函数可积的条件 44 正项级数收敛的判别方法 45 Riemann可积条件探究 46 构造函数法在数学分析中的应用 47 Riemann积分的一般定义性质（将各种积分给出Riemann积分的统一定义，可参考《数学分析学习指导书（下册）》吴良森等编。） 48 探讨函数弱可微、可微、强可微之间的关系 49 试论导函数、原函数的有关性质 要求：1 论述导函数没有第一类间断点 2．原函数存在与可积性 3．原函数存在定理及应用 50 关于stieltjes导数的一些性质 51 浅淡二重积分积分中值定理的推广与应用 52 关于Cauchy积分中值定理的逆问题及中间点的渐进性 53 导数在经济中的应用 54 微分、导数在经济管理中的应用 53 二元函数的微分中值定理及罗比达法则 二、实变函数 1 可测函数的等价定义 2 康托分集的几个性质 3可测函数的收敛性 4用聚点原理推证其它实数基本定理 5可测函数的性质及其结构 6凸函数性质点滴 7凸(凹)函数在证明不等式中的应用 8谈反函数的可测性 9Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴 10试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件 11再谈CANTOR集 12 Lebesgue积分定义的等价性证明。13几种收敛之间的关系14浅谈无穷集 合15函数可积性的研究

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件） 设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1 凸函数的概念： 定义如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。 定义如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。 同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说， 对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)++f(xn))/n>=f((x1+x2++xn)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)++f(xn))/n<=f((x1+x2++xn)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2==xn才成立 现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。 首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1) (f(x1)+f(x2)++f(xn))/n =((f(x1)+f(x2)++f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))++f(xn))/(n/2))/2 >=(f(（(x1+x2++x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)++xn)/(n/2)))/2 >=f(((（(x1+x2++x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)++xn)/(n/2)))/2) =f((x1+x2++xn)/n) 所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 然后我们设 x(n+1)=x(n+2)==x(2^k)=(x1+x2++xn)/n 代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 (x1^2+x2^2++xn^2)/n>=[(x1+x2++xn)/n]^2 显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 由于 (f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凸函数 所以我们可以得到，对于任意x1,x2,,xn, 有(f(x1)+f(x2)++f(xn))/n>=f((x1+x2++xn)/n) 也就是n阶平方平均不等式。 从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。 不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。 如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凸函数 如果f(x)二阶可导，而且f''(x)<=0,那么f(x)是凹函数 至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理） 有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了， 现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 比如 i)(x1^t+x2^t++xn^t)/n>=((x1+x2++xn)/n)^t, (t>1时） ii)(x1^t+x2^t++xn^t)/n<=((x1+x2++xn)/n)^t, (0<t<1时） iii) ((x1+x2++xn)/n)^n>=x1x2xn 其中前面两个取f(x)=x^t就可以了 后面一个取f(x)=log(x)就可以了。

首先，我们凸函数的定义要是是一样的话，那么，m=2的时候是不是不需要证明了。

下面，可以对m进行数学归纳。m=2时，成立

假设m=k时，结论成立

m=k+1时，见

构造函数f(t)＝t^t (t>0),易得

f"(t)＝t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,

∴f(t)＝t^t (t>0)是下凸函数

故依Jensen不等式，可得

f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]

→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2]

上式两边平方，即得

(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n)

显然，m＝n时，上式取等

故原不等式得证。

In this paper, the definition of convex function and geometry; on the convex function in the various definitions under the same conditions as the equivalent certificate of a convex function in the application of that inequality

应该对吧

说完了凸集，下一个要将的肯定就是凸函数啦~

凸函数的相关性质在优化中的地位不言而喻~！

是凸函数，如果 的定义域是凸集，并且 成立：

如果 时上面的不等号严格成立，那么就说这个函数是 严格凸 的。

几何上看，凸函数要求 和 这条线段位于函数图形的上方。

对应的，我们还有定义“凹函数”，当 是凸函数时， 被称为凹函数。

对于仿射函数，它是既凸又凹的。同时， 既凸又凹的函数只有仿射函数 。

如果 是凸函数，那么 也是凸函数，反过来的结论也成立。这说明，凸函数限制在任何一条直线上都是凸！凸函数的概念完全可以从欧式空间推广到一般的线性空间，在一般的线性空间上，这条性质成为我们判断凸函数的重要依据。

凸函数还具有良好的分析性质，比如，凸函数在它定义域的相对内点集上是连续的；凸函数的不连续点只可能出现在它的相对边界上。

有时候我们会把一个凸函数的定义域延拓到整个 空间中：

可以证明，这样延拓的凸函数也满足凸函数的定义。（在定义好关于 的运算后）。这样的定义在函数表示上有一定的意义。

可微的凸函数满足一阶条件：

这个不等式揭示了凸函数的局部特性，那就是在一点的切平面是整个函数的 global underestimate 。

如果上面的不等号严格成立，那么这个函数是严格凸的。这里的条件是 充分必要 的。

如果定义在 开凸集 上的二阶可微函数 满足 ，那么 是凸函数。

如果 ，那么 是严格凸的。

关于一阶条件和二阶条件的证明，要用到泰勒展开。在此从略。

定义 的 为：

易证 是凸函数的时候 是个凸集。

从而这里给出了判断凸集的另一个方法：能被写成某个凸函数的 -sublevel set 的集合是凸集。反之，一个函数的 sublevel set 是凸的，并不能反推出它是凸函数（事实上这个函数是拟凸的）。

对于 是凹函数有相应的结论： 是凸集。

一个函数的 的 epigraph 是指：

是 的子集，是函数图形的上方。 是凸集当且仅当 是凸函数。 所以 epigraph 也是一种主要的判断凸函数的方法。

对应于凹函数我们定义 hypograph ：

是凸集当且仅当 是凹函数。

琴生不等式是凸函数的重要性质。

对 和 成立：

这是有限个点的情况。该不等式还能扩展到无限和、积分等情况。

 对某些凸函数应用琴生不等式可以得到许多著名的不等式：

比如Holder 不等式：

 在 infinite 的情况下， 对 是凸的，那么 也是凸的。

事实上，绝大多数的凸函数，都能够表示成一族仿射函数的上确界函数，这种方法也是判断凸函数最常用的方法。

透视 *** 作是保持凸（凹）性的。

如果 对 是凸的， 是一个非空凸集，那么 是凸的。

另外，也可以通过 来证明凸性。

定义函数 的共轭函数为： 共轭函数是多个仿射函数的上确界，因此是一定是凸函数。共轭函数的定义域是上确界值有限的 的值。

一些例子：

共轭函数具有鲜明的几何意义：

当 是一元函数的时候，如上图所示， 表示以 为斜率且过原点的直线，与 的图像的最大距离（或者其负数）。

当 是 元函数的时候， 表示以 为法向量（n+1维）且过原点的平面，与 的图像的最大距离（或者其负数）。

非空集合 的示性函数（ indicator function ） 定义为： 的共轭函数是支撑函数 ：

设 代表 中的一种范数，其对偶范数为 ，我们能得到共轭函数：

根据共轭函数的定义，下式是显然的：

应用到上面的例子，还能得到：

如果 是凸函数，并且 是闭集，那么 。

如果 是凸函数并且一阶可微，那么根据凸函数的极值理论，容易得到，使得 最大的 满足：

从而我们有：

欲求 ，只需要解 得到向量

如果 ，且 都是凸函数，那么：

 拟凸函数就是 所有下水平集是凸集 的函数。比如 就不是凸函数，但是是拟凸的。

 很多凸函数具有的良好性质，可以推广到拟凸函数上。

 一个定义在凸集上的函数是拟凸函数， 当且仅当 , ，成立：

 这意味着，线段上的函数值，一定小于等于两个端点函数值最大的那一个。这个既可以当做拟凸函数的性质，也能当做拟凸函数的定义。（关于两种定义等价性的证明，看 这里 ）

针对这个性质还有另一个版本：

来看一些例子。

 类似于凸函数，当函数可微时，可以推导出拟凸函数需要满足的一阶条件和二阶条件。

该条件也有鲜明的几何意义。 导出了过点 的对下水平集 的支撑超平面。（高维情况很难想象，不妨考虑一维情况，这时候支撑超平面就退化为一个点，下水平集是一个区间）

 虽然拟凸函数和凸函数在一阶条件上具有相似性，但是拟凸函数并不能用一阶条件来判断全局的最小值。当 时， 不一定是 global minimizer

 这个条件，意味着 在 是半正定的，同时 至多有一个负特征值。（ 是一维的，从而 是 维的）

 简单讲， ，并且 是凹函数，那么 就称为对数凹的。

 对数凹还可以用 来定义。从这里看，凸函数可以视作一种“算术平均”，对数凸则是“几何平均”。

  为什么要研究对数凸/凹函数呢？

 统计学中的似然函数，是一个经常要取对数的函数， 欲求参数的极大似然估计值，其实就是一个关于似然函数的优化问题 ，如果似然函数是对数凹的，那么求对数似然函数负值的最小值，就是一个凸优化问题！这是研究对数凹函数的目的所在。

事实上，很多常见的概率分布函数，都是对数凹的。

如果 具有良好的光滑性，通过 的凹凸性，我们可以得到一些关于 的性质：

因为：

于是可以得到 对数凹的一个充要条件：

在一元函数的情况，就是： 。

 此外，对数凸/凹性是对乘法保持封闭的。从 容易看出。如果概率密度函数是对数凹的，那么多个密度函数相乘的结果也是对数凹的。

通过前面提到的广义不等式，可以定义函数的“单调递增”和“严格单调递增”。

例子：